Sommaire: Cours et exercices de géométrie élémentaire en pdf
I : Géométrie du plan
1) Repérage dans le plan
a) Repère cartésien du plan
b) Coordonnées polaires
2) Produit scalaire
3) Déterminant
4) Droites
5) Cercles
II : Géométrie de l’espace
1) Repérage dans l’espace
2) Produit scalaire
3) Produit vectoriel
4) Division vectorielle
5) Déterminant ou produit mixte
6) Droites et plans
a) Plans
b) Droites
c) Distance d’un point à un plan
d) Distance d’un point à une droite
7) Sphères
III : Arcs paramétrés
1) Généralités
2) Etude locale
3) Asymptotes
4) Plan d’étude d’un arc paramétré
5) Courbes en polaire
IV) Coniques
1) Foyer, directrice, excentricité
2) Equation polaire
3) Propriété des coniques bifocales
4) Tangentes
5) Equation cartésienne
Annexe I : la cycloïde
Annexe II : Trajectoire des planètes
Annexe III : Trajectoire des planètes (bis)
Extrait du cours et exercices de géométrie élémentaire en pdf
I : Géométrie du plan
1– Repérage dans le plan
Les éléments du plan ou de l’espace sont considérés dans ce chapitre comme des points. Pour repérer un point M du plan, deux procédés existent, les coordonnées cartésiennes et les coordonnées polaires.
a) Repère cartésien du plan:
Pour définir un repère cartésien du plan, on se donne un point O appelé origine et deux vecteurs (i, j) non colinéaires. Pour tout point M du plan, le vecteur OM se décompose d’une façon unique sous la forme :
OM= xi+ yj
x et y s’appellent composantes du vecteur OM ou coordonnées du point M. En général, la base (i, j) est orthonormale directe auquel cas, on dit que le repère est orthonormal direct.Un changement de repère consiste simultanément à changer d’origine et de vecteurs de base. Soit Ω la nouvelle origine, de coordonnées (a, b) dans l’ancien repère, et (I, J) la nouvelle base, donnée par les composantes de I et J dans l’ancienne base (i, j) :
I= αi+ βj
J= γi+ δj
2– Produit scalaire
-Le produit scalaire sera étudié de manière plus approfondie dans le chapitre de Géométrie Euclidienne qu’on trouvera dans le fichier ESPEUCL.PDF. Il est noté u.v ou <u,v>. On se contentera ici d’en rappeler la définition géométrique :
<u, v> = || u|| || v|| cos(u, v), où cos(u, v) désigne le cosinus de l’angle entre u et v.
Si u ou v est nul, l’angle est non défini, mais dans ce cas, <u, v> = 0.
Du fait que angle(u, v) = – angle(v, u) et que cos est une fonction paire, on a :<u, v> = <v, u>
On dit que le produit scalaire est symétrique.
-On peut interpréter ce produit selon la droite engendrée par u comme le produit de la norme de u par la norme du projeté de v sur cette droite, ou symétriquement selon la droite engendrée par v,comme le produit de la norme de v par la norme du projeté de u sur cette droite.
-Donnons l’expression du produit scalaire de u et v en fonction de leurs composantes dans une base(i, j) orthonormale. Posons u = ai + bj et v = ci + dj. Le vecteur directement orthogonal à u est w =–bi + aj. Posons U = u|| u ||et W = w|| w||. (U, W) forme une base orthonormée directe. (Cours et exercices de géométrie élémentaire)
3– Déterminant
-Avec les mêmes notations que précédemment :
v= || v|| (cosθ U+ sinθ W) on voit apparaître une autre quantité, la composante selon W, à savoir :
ad– bc= || u|| || v|| sin(u, v)
Cette quantité s’appelle déterminant des vecteurs u et v(dans une base orthonormée directe) :
D et(u, v) = ad– bc= || u|| || v|| sin(u, v)
La valeur absolue du déterminant est l’aire du parallélogramme construit selon u et v. En effet, si u sert de base du dit parallélogramme, alors || v|| sin(u, v) est la longueur de sa hauteur.
-L’expression D et(u, v) = ad – bc permet de vérifier que D et est bilinéaire, mais le fait que le sinus soit une fonction impaire conduit à :
D et(v, u) = – D et(u, v)
Le déterminant est dit antisymétrique ou alterné.
-Si on se place dans , avec les complexes u= a+ ib et v= c+ id, alors on vérifiera que : ad– bc= Im(–uv)
4– Droites
-Le déterminant permet de caractériser deux vecteurs colinéaires. En effet :
u et v sont colinéaires
⇔ angle(u, v) = 0 ou π ou u= 0 ou v= 0
⇔ sin(u, v) = 0 ou u= 0 ou v= 0
⇔ D et (u, v) = 0
De même, trois points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs AB et AC sont colinéaires, donc si et seulement si D et (AB, AC) = 0.
-Les droites interviennent également dans le contexte suivant. Soit u vecteur non nul donné (le plus souvent normé ou unitaire, i.e. de norme 1), et A donné, considérons la fonction : M →<u, AM> = f(M)
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