Cours Mathématique: Bibliothèque d’exercice

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Sommaire: Cours MathématiqueCours Mathématique

I ALGÈBRE 1
1 Nombres complexes
2 Logique, ensembles, raisonnements
3 Injection, surjection, bijection
4 Relation d’équivalence, relation d’ordre
5 Dénombrement
6 Arithmétique dans Z
7 Polynômes
8 Fractions rationnelles
II ANALYSE 1
9 Propriétés de R
10 Suites
11 Limites de fonctions
12 Continuité et étude de fonctions
13 Dérivabilité
14 Fonctions circulaires et hyperboliques inverses
15 Calculs d’intégrales
16 Équations diérentielles
III ALGÈBRE 2
17 Espaces vectoriels
18 Applications linéaires
19 Espaces vectoriels de dimension nie
20 Matrices
21 Déterminants, systèmes linéaires
IV ANALYSE 2
22 Suites : compléments
23 Continuité et comparaison de fonctions
24 Dérivabilité : compléments
25 Développements limités
V ALGÈBRE 3
27 Groupes : généralités
28 Anneaux et corps
29 Groupes nis
30 Groupes quotients
31 Espaces euclidiens
32 Endomorphismes particuliers
33 Polynômes d’endomorphismes
34 Réduction d’endomorphismes : diagonalisation
35 Réduction d’endomorphismes : autres réductions
VI ANALYSE 3
36 Fonctions convexes
37 Notions de topologie
38 Fonctions de deux variables
39 Espaces métriques et espaces vectoriels normés
40 Suites dans Rn
41 Intégrales multiples
42 Séries numériques, séries de Fourier
VII GÉOMÉTRIE
43 Géométrie ane
44 Isométries vectorielles
45 Géométrie ane euclidienne
46 Courbes paramétrées
47 Propriétés métriques des courbes planes
48 Coniques
49 Analyse vectorielle
VIII CORRECTIONS

Extrait du cours mathématique

Introduction
An de faciliter le travail de tous, voici la quatrième version de ce recueil d’exercices. L’esprit n’a pas changé : simplier le concoctage des feuilles d’exercices par un simple copier-coller. Je n’ai pas saisi tous les exercices, loin de là, je remercie vivement les gros contributeurs :
– Éliane Cousquer ;
– François Gourio ;
– Pierre-Yves Legall ;
– Pascal Ortiz ;
– Franz Ridde.
Sans oublier tous ceux qui m’ont fourni leurs feuilles d’exercices : Jean-François Barraud, Cécile Drouet, Cornélia Drutu, Olivier Gineste, Vincent Guirardel, Jean-Marc Hécart, Arnaud Hilion, Jean-Marie Lescure, Isabelle Liousse, Sylvain Maillot, Nicolas Marco, Bertrand Monthubert, Nadja Rebinguet, Sandrine Roussel, Marie-Helène Vignal. Qu’ils et elles en soient tous remerciés.
1 Nombres complexes
1.1 Forme cartésienne, forme polaire
Exercice 1 Mettre sous la forme a + ib (a; b 2 R) les nombres :
Exercice 68 Soit H une hyperbole équilatère de centre O, et M un point de H. Montrer que le cercle de centre M qui passe par le symétrique de M par rapport à O recoupe H en trois points qui sont les sommets d’un triangle équilatéral.
Exercice 77 (Comment construire un pentagone régulier ?) Soit (A0;A1;A2;A3;A4) un pentagone régulier. On note O son centre et on choisit un repère orthonorm’e (O;u ;v ) avec u =OA0, qui nous permet d’identier le plan avec l’ensemble des nombres complexes C.
Exercice 120 Soit f; g deux fonctions de R dans R. Traduire en termes de quanticateurs les expressions suivantes :
1. f est majorée ;
2. f est bornée ;
3. f est paire ;
4. f est impaire ;
5. f ne s’annule jamais ;
6. f est périodique ;
7. f est croissante ;
8. f est strictement décroissante ;
9. f n’est pas la fonction nulle ;
10. f n’a jamais les mêmes valeurs en deux points distcincts ;
11. f atteint toutes les valeurs de N ;
12. f est inférieure à g ;
13. f n’est pas inférieure à g.
Exercice 154 En quoi le raisonnement suivant est-il faux ?
Soit P (n) : n crayons de couleurs sont tous de la même couleur.
 P (1) est vraie car un crayon de couleur est de la même couleur que lui-même.
Supposons P (n). Soit n + 1 crayons. On en retire 1. Les n crayons restants sont de la même couleur par hypothèse de récurrence.
Reposons ce crayon et retirons-en un autre ; les n nouveaux crayons sont à nouveau de la même couleur. Le premier crayon retiré était donc bien de la même couleur que les n autres.
La proposition est donc vraie au rang n + 1.
On a donc démontré que tous les crayons en nombre inni dénombrable sont de la même couleur.

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