Sommaire: Cours mathématiques ensembles, structures algébriques
I : Vocabulaire
1) Règles usuelles et notations
2) Logique
3) Introduction à la démonstration
4) Fonctions, injections, surjections
5) Ensembles finis
6) Relation d’ordre
a) Définition
b) Ordre total, ordre partiel
c) Majorant, minorant, maximum, minimum
II : Structures algébriques
1) Loi de composition interne
2) Définition d’un groupe
3) Sous-groupe
4) Morphismes, Exemples
5) Propriétés des morphismes
6) Anneaux et corps
Annexe I : ensembles dénombrables et non dénombrables
Annexe II : axiomes
Extrait du cours mathématiques ensembles, structures algébriques
I : Vocabulaire
On rassemble ci-dessous un certain nombre de notions, introduites en cours d’année. Une étude exhaustive et directe de l’ensemble du chapitre serait particulièrement indigeste. Il vaut mieux se référer à tel ou tel paragraphe le moment venu.
1– Règles usuelles et notations
i) A, B et C étant les parties d’un ensemble E, on note :
A ∪B = {x| x ∈A ou x ∈B} (réunion de A et B)
A ∩B = {x| x ∈A et x ∈B} (intersection de A et B)
2- Logique
Une proposition mathématique P est une phrase pouvant prendre les valeurs vrai ou faux. Par exemple, dans les entiers :
P : ∀ n, ∃ m, m= n2 est vrai Q : ∀ n, ∃ m, n= m2 est faux Etant donné une proposition, le travail du mathématicien consiste à déterminer si elle est vraie ou fausse. S’il arrive à démontrer qu’elle est vraie, cette proposition est un théorème.
On est amené à regrouper diverses propositions de la façon suivante :
a) la conjonction :
« P et Q » est une proposition qui sera vraie si et seulement si les deux propositions P et Q sont simultanément vraies.
b) la dijonction:
« P ou Q » est une proposition qui est vraie si et seulement si au moins une des deux propositions P ou Q est vraie. Les deux peuvent être vraies. le « ou » a un sens inclusif. (Il existe un « ou » exclusif, mais qui n’est pas utilisé de façon usuelle).
c) l’équivalence :
« P ⇔ Q » est vraie si et seulement si P et Q sont simultanément vraies ou simultanément fausses, autrement dit, si P et Q ont même valeurs de vérité. Par exemple.
d) l’implication logique :
« P ⇒ Q » est vraie si et seulement si P est fausse ou Q est vraie. Cette notion est la plus difficile à maîtriser, contrairement à ce qu’on peut penser au premier abord. Prenons un exemple pour illustrer ce fait. Considérons un circuit électrique en série constitué d’un générateur de courant, d’un interrupteur et d’une lampe.
e) la négation
La négation d’une proposition P est notée « non P ». La négation d’une proposition P vraie sera fausse et la négation d’une proposition P fausse sera vraie.
La négation de « P et Q » est « non P ou non Q ». En effet, dire que « P et Q » est fausse, c’est dire qu’une au moins des deux propositions est fausse.
La négation de « P ou Q » est « non P et non Q ». En effet, nier le fait qu’au moins une des deux propositions est vraie, c’est dire qu’elles sont toutes deux fausses.
La négation de « P ⇒ Q » est « P et non Q ». En effet, nous avons vu que « P ⇒ Q » est synonyme de « non P ou Q ». La négation est donc bien « P et non Q ». Dire que l’implication est fausse, c’est dire qu’on a l’hypothèse P, mais pas la conclusion Q.
La négation de « P ⇔Q » est « (P et non Q) ou (Q et non P) ».
La négation de « ∀ x, P(x) » est « ∃ x, non P(x) ». En effet, dire qu’il est faux que P soit vraie pour tout x, c’est dire que P est faux pour au moins un x.
La négation de « ∃ x, P(x) » est « ∀ x, non P(x) ». En effet, dire qu’il n’existe aucun x vérifiant P, c’est dire que tous les xvérifient la négation de P.
3- Introduction à la démonstration
Lorsqu’un mathématicien, après des heures, des jours, voire des années de labeur, pense qu’une propriété est vraie, il fait une conjecture. Pour être certain que cette propriété soit vraie et pour la faire valider par l’ensemble de la communauté mathématique ou scientifique, il faut une démonstration. La démonstration n’est donc pas la tâche essentielle du travail du mathématicien, mais son achèvement. Dans une moindre mesure, on demande la même chose à l’étudiant scientifique. Ce dernier, apprenti mathématicien, a parfois du mal à mettre en forme une démonstration. Ce paragraphe peut lui donner quelques procédés méthodiques. La démarche démonstrative repose sur une liste de connaissances appelée à évoluer. Cette liste comprend tous les axiomes et théorèmes connus du démonstrateur, mais peut également évoluer par ajout de propriétés au cours de la démonstration. Le démonstration doit démontrer une proposition, c’est à dire une phrase mathématique que le démonstrateur pense être vraie. Nous avons vu dans le paragraphe précédent qu’une proposition peut être construite à partir de propriétés élémentaires en utilisant itérativement conjonction (et), disjonction (ou), implication (⇒), et négation (non). L’équivalence (⇔) quant à elle, n’est que la conjonction de deux implications (⇒ et ⇐). A cela, on ajoute les quantificateurs existentiel (∃) et universel (∀).
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