Extrait du cours mathématiques fonctions de plusieurs variables

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2.4 Devoir
Essayez de bien rédiger vos réponses, sans vous reporter ni au cours, ni au corrigé. Si vous souhaitez vous évaluer, donnez-vous deux heures ; puis comparez vos réponses avec le corrigé et comptez un point pour chaque question à laquelle vous aurez correctement répondu.
Questions de cours : On considère une application f définie sur R, à valeurs dans R, continûment différentiable. On note (a, b) un point de R, (u, v) un vecteur non nul à deux dimensions, et A la droite passant par (a, b) de vecteur directeur (u, v), donc d’équation (x − a)u = (y − b)v. On note g l’application de R dans R qui à t associe f(a + tu, b + tv).
1. Énoncer la définition de la dérivée directionnelle de f au point (a, b) dans la direction (u, v), et reliez cette définition à la dérivée de g et au gradient de f.
2. En appliquant le théorème des multiplicateurs de Lagrange, montrer qu’une condition nécessaire pour que la restriction de f à la droite A admette un extremum local en (a, b), est que la dérivée directionnelle de f au point (a, b) dans la direction (u, v) s’annule.
3. Exprimer la dérivée seconde de g en 0, en fonction du vecteur (u, v) et de la matrice hessienne de f au point (a, b).
4. On fait désormais l’hypothèse que pour tout (u, v), la restriction de f à A admet un minimum. Montrer que le gradient de f est nul.
5. Montrer que le déterminant et la trace de la matrice hessienne sont positifs ou nuls.
Exercice 1 : On considère l’application de R 2 dans R qui à (x, y) associe x+3xy.
1. Calculer le gradient de f et sa matrice hessienne.
2. Utiliser le gradient de f pour calculer la dérivée de l’application x 7→ f(x, e3+y3x).
3. Donner l’équation du plan tangent à la surface d’équation z = f(x, y) au point (1, 1, 5).
4. Déterminer les points critiques de f.
5. Utiliser la matrice hessienne de f pour déterminer la nature de ces points cri-tiques.
6. En considérant l’application x 7→ f(x, x), montrer que f n’a pas de maximum global, ni de minimum global sur R.
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Sommaire: Cours mathématiques fonctions de plusieurs variables

1 Cours
1.1 Continuité
1.2 Dérivées partielles
1.3 Dérivées d’ordre supérieur
1.4 Extrema
1.5 Extrema liés
1.6 Difféomorphismes
1.7 Intégrales multiples
1.8 Changement de variables
2 Entraînement
2.1 Vrai ou faux
2.2 Exercices
2.3 QCM
2.4 Devoir
2.5 Corrigé du devoir
3 Compléments
3.1 Le palimpseste d’Archimède
3.2 Le principe de Cavalieri
3.3 La roulette de Pascal
3.4 Le paraboloïde hyperbolique
3.5 Le tailleur de pierres de Mézières
3.6 Et ignem regunt numeri

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