Sommaire: Cours mathématiques géométrie différentielle avec exemples
I : Etude métrique des courbes planes
1) Longueur d’une courbe
2) Abcsisse curviligne
3) Repère de Frénet
4) Courbure, rayon de courbure, centre de courbure
5) Exemples
6) Cinématique
II : Champs de vecteurs
1) Potentiel scalaire
2) Circulation, abscisse curviligne
3) Formule de Green-Riemann
Extrait du cours mathématiques géométrie différentielle avec exemples
I : Etude métrique des courbes planes
Des considérations élémentaires sur les courbes planes se trouvent dans le chapitre Géométrie Elémentaire qu’on trouvera dans le fichier GEOMELEM.DOC. L’étude locale d’un arc paramétré se trouve dans le chapitre Développements limités dans le fichier DLTAYLOR.
1– longueur d’une courbe
DEFINITION :
On appelle longueur de l’arc paramétré C1 par morceaux défini par OM(t) = F(t) pour t variant de t0à t1(t0<t1) la quantité :
2– abscisse curviligne
On se place dans le plan ou dans l’espace.
DEFINITION :
Si t est supérieur à t0, s(t) n’est autre que la longueur de la courbe entre M(t) et M(t0). Si t est inférieur à t0, s(t) est l’opposé de la longueur de la courbe entre M(t) et M(t0). L’abscisse curviligne joue donc pour une courbe le même rôle que la mesure algébrique (ou abscisse) pour une droite munie d’une origine et d’un sens (droite orientée ou axe).
-change de signe selon que l’on prenne Fou G comme paramétrage. Le signe de l’abscisse curviligne dépend d’une orientation arbitraire du paramétrages dépend également évidemment de l’origine choisie du paramétrage. Cette propriété n’est pas surprenante. Si on considère une droite du plan sur laquelle on veut définir une abscisse, il y a deux choix arbitraires à faire :
i) celui de l’origine (dans le cas d’une courbe, le point M0)
ii) celui de l’orientation de l’axe (dans le cas d’une courbe, la direction dans laquelle l’abscisse curviligne va croître)
3– repère de Frénet
On se place dans le plan, muni d’un repère orthonormé direct. Les courbes sont de classes C² . Les points sont supposés biréguliers (pas de point stationnaires, pas de point de rebroussement 1 , pas de point d’inflexion …).
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