Cours mathématiques les matrices et calcul matriciel, tutoriel & guide de travaux pratiques en pdf.
I : Matrice associée à une application linéaire
1) Définition
2) Somme de matrices
3) Produit par un scalaire
4) Produit de matrices
5) Rang d’une matrice
II : Anneau des matrices carrées
1) Définition
2) Matrice identité
3) Matrices particulières
Matrices scalaires
Matrices diagonales
Matrices triangulaires
Matrices nilpotentes
Matrices inversibles
III : Transposition
1) Définition
2) Propriétés
3) Matrices symétriques et antisymétriques
IV : Changement de bases
1) Définition
2) Expression d’un vecteur
3) Applications linéaires
4) Annexe : composition des vitesses et des accélérations
V : Résolution de systèmes
1) Méthode de Gauss
2) Rang d’un système
3) Ensemble des solutions
4) Inversion de matrices
Annexe : utilisation des matrices en physique
1) Matrice d’inertie
2) Réseaux de conducteurs électriques
3) Quadripôles
4) Electrostatique
5) Inductance mutuelle
6) Polarisation
7) Optique matricielle
8) Transformation de Lorentz
Matrice associée à une application linéaire
Définition
Soit E un espace vectoriel de dimension finie p et F un espace vectoriel de dimension finie n. On choisit une base (ej)j=1..p de E et (εi)i=1..n. Dans cette base, un vecteur x de E s’écrit ∑ xje j. Son imagef(x) s’écrit ∑ yiεi. fest définie si l’on connaît les images des ej.
Somme de matrices
On souhaite définir sur np( ) une somme de sorte que ( np( ),+) soit isomorphe à (L(E,F),+).Pour cela, il suffit de trouver quelle matrice associer à f+g, f et g étant deux applications linéaires de matrices A et B. Notons aijet bijles termes généraux des matrices M et N.
Produit par un scalaire
On procède de même pour le produit par un scalaire. Si la matrice A est associée à l’application linéaire f, λA sera associée à λf. Or :
Ainsi la matrice λA admet pour terme général λaij. ( np( ),+,.) est alors un espace vectoriel isomorphe à L(E,F). Il est facile de voir que sa dimension vaut np, une base étant constituée des matrices Eijdont tous les termes sont nuls sauf un qui vaut 1, à la ligne iet la colonne j. On en déduit que dim L(E,F) = dimE ×dimF, une base étant constituée des applications Φijdéfinies par :
Produit de matrices
Soit E de dimension q de base (ei)i=1..q, F de dimension p de base (εk)k=1..p, G de dimension n de base (ηj)j=1..n. Soit f une application linéaire de E dans F, de matrice B, élément de pq( ) ; Soit g une application linéaire de F dans G, de matrice A, élément de np( ). Soit C la matrice élément de
nq( ) associée à g of. On pose AB = C. On a alors :
Rang d’une matrice
Le rang de la matrice A est le rang de l’application linéaire f associée. C’est le rang du système constitué des vecteurs colonnes de la matrice, puisque ces vecteurs colonnes engendrent Imf.
Anneau des matrices carrées
Définition
On note n( ) l’ensemble des matrices carrées àn lignes etn colonnes. Il s’agit des matrices associées aux endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension n, dans une base donnée.( n( ),+, ×) est un anneau. On prendra garde que AB peut être nul alors que ni A ni B n’est nul (on dit que l’anneau n’est pas intègre), et que AB est en général différent de BA (on dit que l’anneau n’est pas commutatif).
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