Cours mathématiques analyticité de la susceptibilité

Cours mathématiques analyticité de la susceptibilité, tutoriel & guide de travaux pratiques en pdf.

Analyticité de la susceptibilité

Dans ce paragraphe, il est montré comment des propriétés fondamentales telles que la causalité, combinées aux comportements de K0(τ), se manifestent au niveau de la susceptibilité par des propriétés d’analyticité. Les conséquences de ces propriétés d’analyticité sont nombreuses, à la mesure de la richesse du concept de fonctions analytiques.

Analyticité dans C+

Les propriétés analytiques de la susceptibilité dépendent clairement du comportement de K0(τ) quand τ → +∞. Or, la discussion du paragraphe précédent indique que K0 est bornée pour tout état stable E0. Alors, pour z = ω+i avec >0, χ(z) définie par la formule (1.8) est analytique en vertu du théorème de dérivation sous le signe somme. Cette absence de singularité dans C+ signifie, en particulier, que la susceptibilité y est finie. Cette propriété peut être interprétée simplement en termes énergétiques : en effet, lorsque > 0, l’énergie injectée dans le système par la perturbation F(t)=Fz e−izt est finie, et les variations des quantités physiques du système restent donc finies.

Réponse linéaire et analyticité

Axe réel Pour → 0+, c’est-à-dire z réelle, seule une forte décroissance de K0(τ)pour τ → +∞ peut garantir l’analyticité de χ(z) jusque sur l’axe réel. Du point de vue physique, et conformément à la discussion précédente sur la nature de la stabilité de E0, il faut distinguer deux cas suivant la présence ou non de dissipation dans le système.
Dissipation présente. Comme justifié plus haut, la dissipation se manifeste par une décroissance suffisamment rapide de K0(τ), typiquement une décroissance exponentielle de la forme K0(τ)∼ Cste e−λτ quand τ →∞ . (1.10) La constante positive λ est l’inverse d’un temps de relaxation, caractéristique du mécanisme dissipatif à l’œuvre. Par exemple, pour une particule immergée dans un fluide, la fonction de réponse relative à la vitesse vérifie bien la propriété (1.10) avec λ proportionnelle au coefficient de frottement visqueux. De manière générale, le comportement (1.10) implique alors que χ(z) est bien analytique sur l’axe réel.
Dissipation absente ou faible. En l’absence totale de dissipation, la fonction de réponse oscille sans décroître en général. Si ω coïncide avec une des fréquences caractéristiques de ces oscillations, χ(ω) diverge : c’est le phénomène de résonance, avec une divergence de la réponse liée à une injection infinie d’énergie dans le système.

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