Sommaire: Fondement mécanique de la méthode des éléments finis
1. Rappel d’élasticité
1.1 Contraintes
1.1.1 Etat des contraintes en un point
1.1.2 Vecteur contrainte en un point pour une direction n
1.1.3 Contrainte normale et tangentielle
1.1.4 Contraintes principales et directions principales
1.1.5 Etats de contraintes particuliers
1.1.6 Cercles de Mohr
1.1.6.1 Cercles de Mohr des contraintes
1.1.6.2 Cercles de Mohr en contraintes planes
1.1.6.3 Construction de Mohr
1.1.7 Etat des contraintes autour d’un point sur la surface d’un solide
1.2 Déplacements – Déformations
1.2.1 Champ des déplacements
1.2.2 Etat des déformations au voisinage d’un point
1.2.3 Allongement unitaire en A et pour une direction q
1.2.4 Glissement. Distorsion
1.2.5 Déformations principales et directions principales
1.2.6 Etat de déformations planes
1.3 Loi de comportement
1.4 Critères de limite élastique
1.4.1 Critère de Tresca ou du cisaillement maximal
1.4.2 Critère du plus grand travail de distorsion. Critère de Von Mises
1.4.3 Critères exprimés dans le cas de contraintes planes
1.4.3.1 Critère de Tresca
1.4.3.2 Critère de Von Mises
1.5 Types particuliers de problème d’élasticité
1.5.1 Contraintes planes du plan (x1,x2)
1.5.2 Déformations planes
1.5.3 Problèmes axisymétriques méridiens
2. Fondement mécanique de la méthode des éléments finis
2.1 Notations
2.2 Problème d’élasticité. Equations d’équilibre
2.3 Loi de comportement
2.4 Energie de déformation élastique
2.5 Théorème d’unicité
2.6 Champ de déplacement virtuel admissible
2.6.1 Définition
2.6.2 Conséquence
2.7 Energie potentielle d’un système élastique
2.7.1 Système à un degré de liberté
2.7.2 Système à plusieurs degrés de liberté
2.7.3 Système continu
2.8 Approximation par éléments finis
2.8.1 Définitions
2.9 Méthode des éléments finis en élasticité, conduite à partir des déplacements
2.10 Application à l’élément triangulaire à trois noeuds
2.10.1 Construction de la loi d’interpolation
2.10.2 Tenseur des déformations approchées
2.10.3 Loi de comportement
2.10.4 Matrice de rigidité de l’élément
2.10.5 Vecteur d’effort
2.11 Application à une poutre en flexion simple
2.11.1 Décomposition en éléments finis
2.11.2 Calcul de la matrice rigidité de chaque élément
2.11.3 Assemblage de la matrice
2.11.4 Introduction des conditions aux limites
2.11.5 Résolution du système linéaire
2.11.6 Calcul des déformations et des contraintes
2.11.6.1 Vecteur déplacement en un point quelconque
2.11.6.2 Tenseur des déformation en un point quelconque
2.11.6.3 Tenseur des contraintes en un point quelconque
2.11.7 Organigramme du processus de résolution
2.12 Types d’éléments plus performants
3. Type d’éléments finis et indicateurs de choix
3.1 Problèmes pratiques posés à l’utilisateur de la méthode des éléments finis
3.1.1 Choix des éléments
3.1.2 Influence du maillage. Etude sur un cas test
4. Description des possibilités du logiciel
4.1 Modélisation
4.1.1 Modélisation de la géométrie
4.1.2 Modélisation du maillage
4.1.2.1 Définition des paramètres de maillage
4.1.2.2 Choix de l’élément
4.1.2.3 Vérification de la qualité du maillage
4.1.2.4 Sauvegarde du maillage
4.1.2.5 Maillage par blocs
4.2 Sauvegardes des études
4.2.1 Modélisation mécanique
4.2.1.1 Définition des épaisseurs
4.2.1.2 Définition des matériaux
4.2.1.3 Définition des liaisons
4.2.1.4 Définition des cas de charges
4.2.1.5 Définition du modèle d’étude dynamique
4.3 Calculs
4.3.1 Calcul statique
4.3.2 Calcul dynamique
4.4 Exploitation des résultats
4.4.1 Résultats du calcul théorique
4.4.2 Résultats donnés par le logiciel
5. Exemples de modélisation
5.1 Couronne de pont 17×56
5.1.1 Problème posé
5.1.2 Données techniques
5.1.3 Traitement d’un modèle OSSATURE
5.1.3.1 Modélisation
5.1.4 Traitement d’un modèle en élasticité plane (contraintes planes) avec le module M. E. F.
5.1.4.1 Modélisation
5.1.4.2 Résultats de l’étude en élasticité plane
5.1.5 Conclusion
5.2 Capteur d’effort « PRECIA-precia »
5.2.1 Présentation
5.2.2 Réalisation
5.2.2.1 Forme du corps d’épreuve
5.2.2.2 Jauges de contraintes
5.2.3 Corps d’épreuve étudié
5.2.3.1 Epaisseur
5.2.3.2 Matériau
5.2.4 Maillage
5.2.5 Montage du corps d’épreuve
5.2.6 Liaisons
5.2.7 Chargement
5.2.8 Résultats
5.3 Pièce support d’ATR 42
5.3.1 L’avion ATR 42
5.3.2 Conditionnement d’air
5.3.3 Données
5.3.3.1 Caractéristiques techniques
5.3.3.2 Appuis
5.3.3.3 Charges extérieures
5.3.4 Travail demandé
5.3.4.1 En théorie des poutres
5.3.4.2 En élasticité plane
5.3.5 Résultats
5.3.5.1 Appuis de type pivots en C et D ( hyperstatique)
5.3.5.1.1 Maillage
5.3.5.1.2 Appuis et déplacements en A et B
5.3.5.1.3 Contraintes équivalente de Von Mises
5.3.5.2 Avec appui ponctuel en D (isostatique)
5.3.5.2.1 Déformée
5.3.5.2.2 Contraintes équivalente de Von Mises
5.4 Support de galet freineur
5.4.1 Objectif de ce problème
5.4.2 Présentation du système mécanique
5.4.2.1 Description du galet freineur
5.4.3 Etude statique
5.4.3.1 Etude statique du galet
5.4.3.2 Etude statique du support (15)
5.4.4 Etude en élasticité plane
5.4.4.1 Description des liaisons
5.4.4.2 Description des charges
5.4.4.3 Conditions de l’étude
5.4.5 Modèle définitif
6. Annexe
6.1 Limites actuelles du logiciel M.E.F
6.1.1 Limites de calcul
6.1.2 Sauvegarde des études
6.2 Modélisation d’une articulation
6.3 Courbes CETIM
7. Bibliographie
Extrait du cours fondement mécanique de la méthode des éléments finis
1. Rappel d’élasticité
1.1 Contraintes
1.1.1 Etat des contraintes en un point
On démontre dans le cours d’élasticité que, compte tenu des hypothèses physiques, l’état de contrainte en un point A (figure 1. 1) est caractérisé par le tenseur des contraintes. C’est un tenseur du second ordre symétrique. Dans une base orthonormée il est représenté par la matrice des contraintes qui s’écrit :
Dans cette notation du tenseur des contraintes, le premier indice indique la direction de la normale à la facette, le deuxième : la direction de la contrainte
1.1.2 Vecteur contrainte en un point pour une direction n
Soit un point A d’un solide, et une direction repérée par un vecteur n (normale extérieure à la matière) .
Soit une facette infiniment petite d’aire dS de normale n. Le vecteur contrainte au point A pour la direction n s’écrit :
……..
1.4 Critères de limite élastique
On supposera dans la suite que la limite élastique en traction simple est égale à la limite élastique en compression simple (matériaux ductiles). Soit σ cette limite.
On connaît bien le comportement d’un matériau dans le cas d’une sollicitation de traction simple. Cette connaissance est liée à l’essai de traction simple statique.
Soit un état de contrainte complexe caractérisé en un point A par les trois contraintes principales Existe-t-il un moyen de savoir si, en ce point, la limite élastique est dépassée ?
On peut répondre à cette question par l’affirmative. On définit pour cela une contrainte de 3 traction simple σg présentant le même danger de dépassement de limite élastique que l’état de contrainte complexe ( σ1, σ). est appelée contrainte équivalente. Bien entendu, dans le cas général, σ contrainte fictive que l’on ne rencontre pas dans la pièce contrainte.
Il n’y a pas unicité du critère de limite élastique. Au cours de l’histoire de la mécanique des milieux continus déformables, plusieurs critères ont été proposés. Certains sont plus ou moins bien vérifiés en fonction du type de matériau sollicité et du type de sollicitation.
A l’heure actuelle les logiciels d’élasticité prennent en compte surtout les critère de Tresca et de Von Mises que nous allons expliciter.
1.4.1 Critère de Tresca ou du cisaillement maximal
Pour ce critère, l’état limite est atteint lorsque la contrainte de cisaillement maximal admet la valeur seuil τe déterminée par l’essai de torsion.
A l’aide de la représentation de Mohr, on sait déterminer le cisaillement maximal, il suffit de tracer le plus grand des trois cercles de Mohr.
……….
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