Extrait du cours équations de Lagrange vibrations et ondes mécaniques

Chapitre 1 Introduction aux équations de Lagrange
1.1 Equations de Lagrange pour une particule
1.1.1 Equations de Lagrange
Considérons le cas particulier d’une particule astreinte à se déplacer, sans frottement, sur une courbe plane contenue dans le plan xOy. La courbe sur laquelle est astreinte à se déplacer la particule de masse m, est le lieu des points dont les coordonnées vérifient les relations.
La première relation correspond au plan xOy . La seconde relation représente l’équation de la  trajectoire dans ce plan. Ces deux relations définissent les équations des liaisons appelées souvent liaisons. Le nombre de degrés de liberté est égal au nombre de coordonnées qui représentent la position de m (trois dans le cas général) moins le nombre de liaisons (deux dans le cas particulier étudié ici). La particule possède donc un degré de liberté. Il faut choisir une variable q pour repérer sa position. Cette variable est appelée coordonnée généralisée.
1.1.3 Cas des forces de frottement dépendant de la vitesse
Equation de Lagrange
Considérons une situation physique dans laquelle la particule est soumise à des forces de frottement de viscosité dont la résultante f est de la forme.
1.1.4 Cas d’une force extérieure dépendant du temps
Considérons le cas plus général d’une force extérieure dépendant du temps agissant sur un système qui est le siège de forces de frottement qui dérivent d’une fonction dissipation D. Soit Feq la q-composante de la force extérieure. Dans ce cas l’équation de Lagrange peut s’écrire sous l’une des deux formes équivalentes.
1.2 Système à plusieurs degrés de liberté
Dans le cas général d’un système à plusieurs degrés de liberté, il y a autant d’équations de Lagrange que de degrés de liberté. Ainsi, si le système possède N degrés de liberté, il est nécessaire d’avoir N coordonnées généralisées.
Exercices
Exercice 1 : On considère un point matériel astreint à se déplacer sur un cercle de rayon R et de centre O contenu dans le plan xOy.
1. Traduire la liaison par une ou des relations mathématiques ; quel est le nombre de degrés de liberté de ce point ?
2. Quelles sont les coordonnées généralisées que l’on peut utiliser pour repérer ce point ?
Exercice 2 : On considère un point matériel astreint à se déplacer sur une sphère. Répondre aux mêmes questions que l’exercice précédent.
Exercice 3 : Pour repérer la position d’un solide dans l’espace, il faut repérer la position de trois points non alignés A, B et C de ce solide.
1. Traduire les liaisons physiques par des relations mathématiques ; quel est le nombre de degrés de liberté de ce solide ?
2. Quelles sont les coordonnées généralisées les plus couramment utilisées pour décrire le mouvement d’un solide ?
3. Quel est le nombre de degrés de liberté pour un solide qui possède:
(a) un point fixe ?
(b) deux points fixes ?
Exercice 4 : On considère une haltère constituée de deux masses identiques m, supposées ponctuelles, reliées par une tige de longueur a, de diamètre et de masse négligeables.
1. Comment s’écrit mathématiquement la liaison entre les deux masses ?
2. Quel est le nombre de degrés de liberté de ce système ?
Exercice 5 : On considère une masse M qui glisse sans frottement selon une droite sur un plan horizontal. Elle est reliée à un bâti fixe par un ressort parfait de raideur k, colinéaire avec la trajectoire.
1. Quel est le nombre de degrés de liberté ?
2. Quelles sont les forces qui s’exercent sur la masse M . Quelles sont celles qui dérivent d’un  potentiel ? Quelles sont celles qui ne travaillent pas ?
3. Calculer l’énergie cinétique et l’énergie potentielle de ce système ; en déduire l’équation différentielle du mouvement par la méthode des équations de Lagrange.
4. Etablir l’équation différentielle du mouvement en utilisant la seconde loi de Newton ; que remarque-t-on? Quelles sont les forces qui n’interviennent pas dans l’équation de Lagrange et qui sont prises en compte dans les équations de Newton? Quelle est leur particularité ?
Exercice 6 : On considère un pendule simple constitué d’une masse m reliée à un point fixe O par un fil de longueur ` et de masse négligeable. Cette masse peut osciller librement dans le plan vertical xOy.
1. Quel est le nombre de degrés de liberté de ce système ? Quelles sont les coordonnées généralisées les plus pratiques à utiliser ? Ecrire les coordonnées x et y de la masse m dans le repère xOy en fonction des coordonnées généralisées choisies.
2. Quelles sont les forces qui s’exercent sur la masse m. Quelles sont celles qui dérivent d’un potentiel ? Quelles sont celles dont le travail n’est pas nul au cours du mouvement ?
3. Etablir les équations du mouvement par la méthode des équations de Lagrange.
4. Ecrire les équations du mouvement par la méthode de Newton ; retrouve-t-on le même résultat que par la méthode de Lagrange ? Déterminer le module de l’action du fil sur la masse m ; pouvait-on déterminer ce module par la méthode de Lagrange ? Commenter le résultat

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