Sommaire: Les fonctions d’une variable réelle

I Limites
1) Vocabulaire

2) Définition des limites
3) Opérations sur les limites
4) Inégalités sur les limites
5) Lien avec les suites
6) Exemples et contre–exemples
II Equivalence locale
1) Définitions
2) Exemples
3) Opérations
4) Fonction négligeable devant une fonction
5) Somme d’équivalents
III Fonctions monotones
1) Définition
2) Opérations sur les fonctions monotones
3) Limite d’une fonction monotone
4) Injectivité d’une fonction strictement monotone
IV Continuité
1) Définition
2) Image d’un intervalle
3) Image d’un segment
4) Continuité et monotonie
Annexe I : fonction continue sur et discontinue sur
Annexe II : calcul de pH

Extrait du cours les fonctions d’une variable réelle

I : Limites
1– Vocabulaire
Dans ce chapitre, on considère des fonctions définies sur une partie de.., à valeurs dans (fonction d’une variable réelle à valeurs réelles) ou parfois à valeurs dans  (fonction d’une variable réelle à valeurs complexes) Si f et g sont deux fonctions et λ un scalaire, f + g est la fonction : x → f(x) + g(x). λf est la  fonction: x → λf(x). Ces deux opérations confère à l’ensemble des fonctions définies sur le même ensemble une structure d’espace vectoriel (voir le chapitre Espaces Vectoriels dans le fichier ESPVECT.PDF). La fonction fg est la fonction : x → f(x)g(x). La fonction f o g est la fonction 😡 → f(g(x)). La fonction f est la fonction : x → f(x).

2– Définition des limites
Soit fune fonction de dans . Nous allons définir limx→X0 f(x) = L

L et X0 peuvent valoir, indépendamment l’un de l’autre, une valeur finie, +∞, –∞, ou ∞. Cela représente potentiellement 16 définitions. En fait, toutes reposent sur un schéma général que nous donnerons ultérieurement. Voici auparavant quelques exemples de définition delimx→X0 f(x) = L :

-L = lréel et X0= x 0réel.
∀ ε> 0, ∃ α> 0, ∀ x, x–x 0 < α ⇒ f(x)–l < ε
-L = lréel et X
0= +∞. ∀ ε> 0, ∃A, ∀ x, x > A ⇒ f(x)–l < ε
-L = –∞et X 0= x 0réel.
∀A, ∃ α, ∀ x, x–x 0 < α ⇒ f(x) < A
-L = +∞et X
0= ∞ ∀A, ∃B, x > B ⇒ f(x) > A
Les premières définitions de ce type ont été données par Weierstrass (1815-1897).

3– Opérations sur les limites
Les théorèmes sur les limites sont en tous points identiques à ceux sur les suites :
a) SOMME :
PROPOSITION
Soient f et g deux fonctions. Lorsque x tend vers X0:
i) Si f converge vers Let g vers L’, alors f+g converge vers L+L’.
ii) Si f est bornée au voisinage de X0et g tend vers ∞, alors f+g tend vers ∞
iii) si f est minorée au voisinage de X0et g tend vers +∞, alors f+g tend vers +∞
iv) si f est majorée au voisinage de X0et g tend vers –∞, alors f+g tend vers –∞
Les démonstrations sont données dans le cas où x 0 est fini, mais s’adaptent facilement dans le cas où X0est infini :
i) ∀ ε> 0, f(x)+ g(x)–(L+L’) ≤ f(x)–L + g(x)–L’Or, ∃ α> 0, ∀x ∈]x 0–α, x 0+α[, f(x)–L < ε et ∃ β> 0, ∀x ∈]x 0–β, x 0+β[, g(x)–L’ < ε

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