Analyse des activités proposées dans les manuels scolaires 

Rappelons tout d’abord que le mot « activité » dans le manuel veut dire pour nous plutôt « tâche » proposée aux élèves. Les activités proposées par le manuel ont déjà été présentées dans le chapitre « relief » quand il s’agit de dégager le niveau de conceptualisation visé par notre ingénierie.

Pour la première tâche

 Une fonction f donnée dans le registre algébrique (affine par morceaux) La question 1 correspond à un traitement classique de tracé d’une fonction affine donnée algébriquement par morceaux dans le registre graphique. Il y a donc un changement de registre « Représenter » (vers le graphique) qui n’est pas à la charge de l’élève mais demandé par l’énoncé. Les connaissances anciennes sont supposées disponibles, et c’est une application immédiate car les élèves sont déjà familiers avec les fonctions affines par morceaux (les élèves doivent reconnaître que c’est une fonction affine par morceaux). On peut dire qu’il y a aussi un peu d’organisation dans la mesure où il faut choisir la succession de point à prendre pour faire le tracé mais cela fait partie des connaissances anciennes, donc nous ne le relevons pas. En tout état de cause ce n’est pas lié directement à la continuité. Les activités proposées ici sont possibles pour tous les élèves

Pour la deuxième tâche 

 Première sous-tâche 

La question 2 est la même que celle rencontrée dans l’activité 2 « pour commencer ». 1. Représenter la fonction f dans le plan muni d’un repère orthonormé (O,⃗i,⃗j). 2. a) Représenter sur l’axe des ordonnées, l’ensemble des réels y tels que |y − 3| < 0.1 Chapitre VI Analyse a priori 149 Comme dans l’activité 2 « pour commencer », les élèves doivent reconnaître l’équivalence « | x | < r ⇔ x ∈ ] − r, r[ » (cette connaissance doit être disponible mais ils l’ont déjà mobilisé avant) avec une adaptation puisqu’il faut l’appliquer avec y-3 dans la valeur absolue. Dans le traitement les élèves doivent transformer |y − 3| < 0.1 en une double inégalité et représenter graphiquement l’ensemble obtenu sur l’axe des ordonnées. Etant donné que cela correspond à ce qui a été fait dans l’activité « pour commencer », l’activité est encore possible pour tous.

  Deuxième sous-tâche 

Il y a un changement de cadre par rapport à la question a) car l’activité est ici bien dans le cadre fonctionnel. Il faut que l’élève adapte ses connaissances mises en fonctionnement dans le cadre graphique (passage de y à f(x)). On peut considérer aussi que c’est un changement de point de vue. On trouve que 2,9 < f(x) < 3,1. L’activité attendue ressemble à ce qui est demandé dans l’activité 3 de « pour commencer » mais avec plusieurs adaptations : tout d’abord l’expression de la fonction change avant et après x = 1 et ce que l’on demande n’est pas de « représenter graphiquement l’ensemble des abscisses des points » (activité 3 de « pour commencer ») ; dans cette tâche il est demandé une condition suffisante sur x. Il y a un donc un changement de vue demandé aux élèves (adaptation), ce qui rend l’activité possible uniquement a maxima (pour les bons élèves). Les élèves peuvent en outre mobiliser des connaissances anciennes (reconnaissances) dans cette sous-tâche graphique mais cela ne peut-être qu’à maxima (et pas forcément nécessaire) – Connaissance ancienne sur l’image réciproque → « activité à maxima » – Connaissance ancienne sur « condition » (logique) → « activité à maxima » – Connaissance en cours d’acquisition sur f(I) ⊂ J dans le registre graphique → « activité à maxima » (3) Pour la troisième tâche : b) En déduire graphiquement, une condition suffisante sur x pour que |f(x) − 3| < 0.1. .