Analyse non lisse : – Fonction d’appui de la Jacobienne généralisée de Clarke et de son enveloppe plénière

Hamiltoniens diff. convexes

 Dans cette partie, nous étudions encore le système (11)-(12), mais cette fois-ci sous l’hypothèse “l’hamiltonien H est la différence de deux fonctions convexes”. L’hamiltonien est dit diff.convexe ou tout simplement d.c. Nous utilisons les résultats du Chapitre 2, Partie II, pour obtenir des estimations supérieure et inférieure de la solution continue de viscosité du système,. Nous supposons que le principe de comparaison est vérifié c’est-à-dire, rappelons-le, que toute sous solution est plus petite que toute sur-solution. Voici le principal résultat de ce chapitre. Théorème 5. Supposons qu’il existe deux fonctions convexes H1, H2 : R n → R telles que H = H1 − H2 et que la condition iniale g : R → R est continue. Supposons de plus que le principe de comparaison est vérifié pour (11)-(12). Définissons deux fonctions u + et u − comme suit ; pour tout (x, t) ∈ R n × [0+; ∞) : u +(x, t) = min z∈Z2 max y∈Z1 {g(x + tz − ty) + tH∗ 1 (z) − tH∗ 2 (y)}, u −(x, t) = max y∈Z1 min z∈Z2 {g(x + tz − ty) + tH∗ 1 (z) − tH∗ 2 (y)}, Alors toute solution continue de viscosité u de (11)-(12) est minorée par u − et majorée par u +. Ces estimations apparaissent dans un article de Bardi et Faggian paru en septembre 1998 [8], date postérieure à l’achèvement de ce travail. Notons que les techniques sont différentes et que les travaux ont été menés indépendamment. Bien que nous n’ayons obtenu qu’un encadrement de la solution de (11), l’existence d’une dualité pour les fonctions diff.convexes semblait promettre l’obtention d’une formule explicite. Nous en voulons pour preuve qu’en s’appuyant sur la dualité des fonctions quasiconvexes, Barron, Jensen et Liu ont mis à jour des formules de Hopf-Lax. Ils supposent soit que la condition initiale est quasiconvexe soit que l’hamiltonien est la conjuguée quasiconvexe d’une fonction quasiconvexe. Notons que Volle [113] a proposé des preuves analytiques de certains de ces résultats. Nous présentons maintenant dans le détail le contenu de cette partie. L’équation (11) peut être interprétée comme l’équation de Isaacs associée à un jeu différentiel que nous construisons dans §1. La fonction-valeur v du jeu différentiel est l’unique “solution” de l’équation de Isaacs qui vérifie une condition finale (“v(., T) = g”). Des estimations supérieure et inférieure sont alors obtenues pour v. Dans §2, nous encadrons la solution u de (11)-(12) grˆace aux résultats de §1 : u − ≤ u ≤ u +. Nous montrons sur un exemple simple (§2.2) qu’il n’y a en général aucune chance que les deux fonctions u + et u − soient égales, ce qui conduirait à une formule explicite pour la solution u du problème de Cauchy. Nous essayons dans §2.3 d’expliquer ce “saut” entre u + et u − de la fa¸con suivante : l’égalité u + = u − peut être interprétée comme la commutation de deux semigroupes. Or il se trouve que cette commutation a rarement lieu. Ensuite (§2.4), PARTIES II, III et IV xix nous prouvons le principe de comparaison pour le système (11)-(12) dans le cas d’un hamiltonien lipschitzien. Cette preuve est une généralisation de la preuve du principe du minimum pour la fonction de Hopf des Chapitres 2 et 3 de la Partie II. Enfin, nous énon¸cons dans §2.5 une conjecture à propos de l’éventuelle existence d’une solution enveloppe au sens de [6] pour le système (11)-(12), toujours sous l’hypothèse “l’hamiltonien H est d.c.”. 

Enveloppes de solutions dans des espaces de Banach

 Cette dernière partie est consacrée à la construction de solutions sci (au sens de la Définition 3) des équations de Hamilton-Jacobi du type :  ∂u ∂t + H(x, u, Du) = 0 sur R + × X, u(0, x) = g(x) sur X, (15) o`u X est un espace de Banach lisse (i.e. tel qu’il existe une fonction “bosse”3 lisse définie sur X). Le choix d’un cadre si général se justifie par les techniques utilisées. Toutes les preuves reposent en effet sur des résultats d’analyse non lisse adaptés à ce genre d’espaces. Il n’y a donc pas lieu de se restreindre à la dimension finie. Le résultat principal de la Partie IV concerne la construction d’une solution sci de l’équation (15) dont l’hamiltonien H est le supremum d’une famille d’hamiltoniens {H(x, u, p, α)}α∈A qui sont convexes en p et pour lesquels on sait résoudre :  ∂u ∂t + H(x, u, Du, α) = 0 sur R + × X, u(0, x) = g(x) sur X, (16) pour toute fonction sci g : X → (−∞; +∞] qui est finie en au moins un point. L’idée directrice est d’autoriser l’indice α à varier avec le temps ; on résout donc :  ∂u ∂t + H(x, u, Du, α(t)) = 0 sur R + × X, u(0, x) = g(x) sur X, (17) pour toute fonction α(.) : R + → A constante par morceaux. On construit ainsi une fonction vα(.) qui vérifie (17) en un sens que nous précisons. Nous définissons une notion de solution sci pour les hamiltoniens dépendant du temps. Voir aussi [12, 96]. Enon¸cons le principal théorème de cette partie (voir §3). Théorème 6. Supposons que l’hamiltonien H défini par : H(x, u, p) = sup α∈A H(x, u, p, α) est continu. Alors la “fonction-enveloppe” u définie par : u = “ inf ”{vα(.) : α(.)}. est une solution sci de l’“équation-enveloppe” (15) si elle ne vaut jamais −∞. 3 fonction à valeurs réelles positives et à support compact Remarque 1. Aucune régularité en α n’est imposée aux hamiltoniens H. En effet les hypothèses sont faites pour chaque hamiltonien et donc les constantes qui apparaˆıssent dans ces hypothèses dépendent de α. En appliquant les mêmes techniques, on prouve l’existence d’une solution sci minimale de l’équation (15) dans des espaces de Banach lisses (§3.1) et ce sans faire les hypothèses habituelles qui assurent l’unicité. Dans le dernier paragraphe (§5) nous caractérisons les sous- et sur-solutions sci par des propriétés de décroissance uniforme et nous en déduisons des critères qui assurent la décroissance approchée des fonctions dans des espaces de Banach. Dans le paragraphe 4, le Théorème 6 nous permet de construire une solution enveloppe pour les équations de Hamilton-Jacobi de la forme :  ∂u ∂t + supα{−hb(x, α), Dui − f(x, u, α)} = 0 u(0, x) = g(x). (18) Il est en effet possible de résoudre (16) avec H(x, u, p, α) = −hb(x, α), Dui − f(x, u, α) en adaptant la technique des caractéristiques. L’équation modèle de Hamilton-Jacobi-Bellman que l’on rencontre dans la théorie de la commande optimale est un cas particulier de (18) :  ∂u ∂t + λu + supα{−hb(x, α), Dui − f(x, α)} = 0 u(0, x) = g(x), (19) o`u λ > 0. Notons que dans cette équation, la fonction f ne dépend plus de u. Sans surprise, la fonction construite dans le Théorème 6 coincide avec la fonction valeur du problème de commande optimale associé. Le Théorème 6 affirme donc que si la fonction-valeur existe (i.e. si l’infimum de la fonction cout sur les commandes admissibles ne vaut jamais −∞), c’est une solution sci de (19). Notons que les hypothèses sous lesquelles nous montrons ce résultat sont plus faibles que celles que l’on rencontre habituellement dans la littérature. En particulier, il n’est demandé aucune régularité des couts instantané et final par rapport à la commande..