Cours biostatistique les variables aléatoires

Estimation – Intervalle de confiance

Introduction

Le problème de l’estimation statistique est le suivant : on cherche à connaître les valeurs de certaines caractéristiques d’une variable aléatoire grâce à des observations réalisées sur un échantillon.
Un grand nombre de problèmes statistiques consistent en la détermination de la moyenne « vraie », sur la base d’observations réalisées sur un échantillon. Cependant, on peut aussi chercher à connaître les valeurs d’autres caractéristiques, comme par exemple les variances (exemple c. ci-dessous).
Exemples :
a. quelle est la fréquence de survenue de tel type de cancer chez les souris ?
b. quelle est la vraie valeur de la glycémie de ce patient ?
c. quelle est la variance de la glycémie mesurée chez ce patient ?
Il est bien sûr impossible de répondre à ces questions au sens strict.
On y apporte généralement deux types de réponses :
1. On produit une valeur qui nous semble être la meilleure possible : on parle alors d’estimation ponctuelle.
2. On produit un intervalle de valeurs possibles, compatibles avec les observations. C’est la notion d’intervalle de confiance ou d’estimation par intervalle.
Dans la suite on note X la variable aléatoire dont on cherche à estimer une caractéristique, aussi appelée paramètre, dont la valeur est notée θ. Par exemple le paramètre peut être la glycémie, et sa valeur celle du patient considéré.

Estimation ponctuelle

Définition
A partir d’un échantillon (X1, X2, …, X) de la variable aléatoire X , on construit une nouvelle variable aléatoire t(X1, X2, …, Xnn) dont les réalisations « se rapprochent » de la valeur θ. Cette nouvelle variable est appelée estimateur de θ.
Pour simplifier, cette variable t(X1, ) est notée T ou T.
Par exemple t (Xn1, X2, …, X) = « se rapproche » de l’espérance de X (voir chapitre 9).
C’est un estimateur naturel de E[X ].

Propriétés
Les estimateurs sont des fonctions des échantillons : ce sont donc des variables aléatoires qui possèdent une densité de probabilité, et le plus souvent, une moyenne (espérance mathématique) et une variance. Ces deux grandeurs permettent de comparer, dans une certaine mesure, les estimateurs entre eux.
Mn = 1 n n ∑ –X i i 1= 2 , …, X

……..

Introduction
1 La variabilité et l’incertain
2 La décision dans l’incertain
Chapitre 1 : Statistique(s) et Probabilité(s)
1.1 Statistique
1.2 Population et échantillon
1.3 Statistique et probabilité
Chapitre 2 : Rappels mathématiques
2.1 Ensembles, éléments
2.2 Opérations sur les ensembles
2.3 Ensembles finis, dénombrables, non dénombrables
2.4 Ensembles produits
2.5 Familles d’ensembles
2.6 Autres rappels mathématiques
2.6.1 Rappel sur les sommes
2.6.2 Rappel sur les intégrales
Chapitre 3 : Eléments de calcul des Probabilités
3.1 Introduction
3.2 Expérience aléatoire, ensemble fondamental et événements
3.3 Opérations sur les événements
3.4 Règles du calcul des probabilités
3.5 Remarque
3.6 Illustration de quelques ensembles probabilisés
3.6.1 Ensemble probabilisé fini
3.6.2 Ensemble fini équiprobable
3.6.3 Ensembles probabilisés infinis
3.6.3.1 Cas dénombrable
3.6.3.2 Cas d’un ensemble probabilisé infini non dénombrable
Chapitre 4 : Probabilité Conditionnelle ; Indépendance et Théorème de Bayes
4.1 Probabilité conditionnelle
4.2 Théorème de la multiplication
4.3 Diagramme en arbre
4.4 Théorème de Bayes
4.5 Indépendance entre événements
4.6 Indépendance, inclusion et exclusion de deux événements
Chapitre 5 : Evaluation de l’intérêt diagnostique des informations médicales
5.1 Introduction
5.1.1 Le diagnostic
5.1.2 Les informations médicales
5.1.3 Situation expérimentale et estimation
5.2 Les paramètres de l’évaluation
5.2.1 Sensibilité et spécificité
5.2.2 Valeurs prédictives
5.2.3 Comparaison des deux couples de paramètres
5.2.4 Choix d’un seuil : courbes ROC
5.3 Estimation des paramètres de l’évaluation
5.3.1 Un échantillon représentatif
5.3.1.1 Les données
5.3.1.2 Estimation de la sensibilité et de la spécificité
5.3.1.3 Estimation des valeurs prédictives
5.3.2 Deux échantillons représentatifs
Chapitre 6 : Variables aléatoires
6.1 Définition d’une variable aléatoire
6.2 Variables aléatoires finies
6.2.1 Représentation d’une loi de probabilité finie
6.2.2 Espérance mathématique d’une variable finie
6.2.3 Variance et écart-type d’une variable finie
6.2.4 Loi de probabilité produit
6.2.5 Variables aléatoires indépendantes
6.2.6 Fonction de répartition
6.3 Variables infinies dénombrables (hors programme)
6.4 Variables aléatoires continues
6.5 Extension de la notion de variable aléatoire

Si le lien ne fonctionne pas correctement, veuillez nous contacter (mentionner le lien dans votre message)
Cours biostatistique (2,50 MO) (Cours PDF)
Cours biostatistique

Télécharger aussi :

Laisser un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *