I NTRODUCTION
1 ÉLÉMENTS DE THÉORIE FINANCIÈRE
1.1 CAPM
1.1.1 Modèle
1.1.2 Portefeuille de marché
1.1.3 Présence d’alpha
1.2 Credit scoring
1.2.1 Définition du risque de crédit
1.2.2 Notation des agences
1.2.3 Scoring des émetteurs
2 RÉGRESSION LINÉAIRE SIMPLE
2.1 Exemple introductif
2.2 Estimation
2.2.1 Avant toute estimation : éviter les régressions fallacieuses
2.2.2 Hypothèses
2.2.3 Moindres Carrés Ordinaires
2.2.4 Méthode des Moments
2.2.5 Méthode du Maximum de Vraisemblance
2.2.6 Propriétés des estimateurs
2.2.7 Estimation récursive versus estimation glissante
2.3 Validation du modèle
2.3.1 Coefficient de détermination
2.3.2 Tests statistiques
2.3.3 Backtest
3 RÉGRESSION LOGISTIQUE
3.1 Inadéquation des MCO
3.2 Introduction d’une variable latente
3.3 Estimation par Maximum de Vraisemblance
CONCLUSION
INTRODUCTION
Estimer un paramètre de régression est une chose assez répandue dans de nombreux métiers aujourd’hui pour aider à la décision et mieux comprendre son environnement. Néanmoins, entre utiliser la méthode et la comprendre ainsi que bien l’appliquer, il existe parfois un décalage important. En effet, il semble essentiel de comprendre d’où vient l’estimateur et d’en comprendre les hypothèses de mise en oeuvre pour ne pas faire des erreurs basiques dommageables. C’est l’objectif essentiel de ce cours : aller un peu plus dans la boîte noire de l’estimation de modèles statistiques simples et très usités et les appliquer sur des données financières. Car ce domaine d’application est très exigeant et a montré certaines faiblesses durant la crise, entre autres dans des problématiques d’estimation (nous pensons à la titrisation de dettes subprimes parfois mal calibrées).Estimer c’est tenter, à partir d’une modélisation que l’on considère adéquate, de déterminer le plus précisément possible la valeur du paramètre de ce modèle. Une action française va réagir à l’indice phare du marché boursier français CAC 40. Nous pouvons avoir l’intuition que cette relation est linéaire. Le modèle, qui peut être justifié par la théorie financière, nous l’étudierons plus bas, énonce alors que la rentabilité de l’action est sensible linéairement à celle du CAC 40. Ainsi, il va incomber au statisticien de déterminer cette sensibilité. Ce dernier ne remet pas en cause le modèle précédent mais cherche à estimer rigoureusement la sensibilité. Bien entendu, le modèle peut s’avérer peu adéquat et des méthodes statistiques peuvent alorspermettre d’en proposer de plus judicieux.
CHAPITRE 1 É LÉMENTS DE THÉORIE FINANCIÈRE
Nous allons nous attacher à étudier dans ce cours deux modélisations financières classiques :
1. Le Capital Asset Pricing Model (CAPM) permettant de théoriser la formation de toute rentabilité d’un titre financier ou d’un portefeuille de titres par leur sensibilité au risque de marché.
2. La notation des émetteurs de dette (pays, entreprises, particuliers) dont on va modéliser plus particulièrement la probabilité de défaillance. Cet aspect est essentiel dans le cadre de la réglementation prudentielle issue du comité de Bâle.
1.1 CAPM
1.1.1 Modèle
Le Capital Asset Pricing Model (CAPM) ou Modèle d’Équilibre des Actifs Financiers (MEDAF) a été développé par Sharpe en 1964 [12], Lintner en 1965 [9] et Mossin en 1966 [11]. Les hypothèses de ce modèle sont les suivantes :
1. les investisseurs exigent une rentabilité d’autant plus forte que le risque est élevé : il existe donc une relation croissante entre rendement et risque,
2. un actif sans risque est disponible,
3. les anticipations sont identiques pour tous les investisseurs.
D’après ces hypothèses, nous pouvons exprimer l’espérance de la rentabilité ri d’un portefeuille ou d’un actif risqué i en fonction de celle de l’actif sans risque r f et de celle du portefeuille de marché rM.
1.1.2 Portefeuille de marché
Il semble difficile de déterminer précisément le portefeuille de marché. Souvent, il est réduit à l’indice phare de la place financière dans laquelle est évalué l’actif ou le portefeuille. Seulement, ces indices n’intègrent pas tous les actifs risqués de l’univers d’investissement, comme le voudrait la théorie, puisqu’il se restreint aux actions.
Les poids alloués aux actions dans ces indices varient suivant les places financières. Ils peuvent être relatifs :
– à la valeur des titres : c’est le cas du plus vieil indice fondé en 1884, le Dow Jones Industrial Average composé de 30 entreprises américaines importantes,
– aux capitalisations boursières,
– ou au flottant, défini comme la part de la capitalisation que l’on peut échanger sur les marchés (inférieur le plus souvent à la capitalisation boursière totale), traduisant donc la liquidité du titre. La pondération par le flottant est le cas de la plupart des indices aujourd’hui. Ainsi, le CAC 40 l’est depuis le 1er décembre 2003, après avoir été pondéré par les capitalisations.
Les créances bancaires, l’immobilier, le capital humain manquent donc dans la composition de ces indices et sont difficiles à mesurer précisément.
1.1.3 Présence d’alpha
Le problème traité par ce paragraphe est la significativité possible d’une constante αi dans le modèle statistique de marché, qui s’écrit :
ri − r f = αi + β i (rM − r f ) + ε i
Théoriquement, le CAPM implique l’Absence d’Opportunité d’Arbitrage (AOA) entre les actifs, c’est-à-dire qu’en théorie la relation (1.1) est toujours vérifiée. Si cela n’est pas le cas, l’actif est mal évalué et selon l’Hypothèse d’Efficience des Marchés (HEM), l’anomalie sera résorbée rapidement par les arbitrageurs et ne devrait pas perdurer.
Néanmoins, dans la réalité, des αi significativement non nuls perdurent plus longtemps que prévu par l’HEM. Cela peut alors signifier deux choses :
– Soit le modèle n’est pas à remettre en cause et alors la prime de risque observée ρobs i est arbitrable mais les arbitrageurs de la théorie ne sont pas aussi efficaces que prévu.
1.2 Credit scoring
1.2.1 Définition du risque de crédit
Aujourd’hui, la gestion du risque pris par les banques est devenue fondamentale. Alors que le risque de marché est défini comme le risque de perte lié aux variations des marchés (nous en avons étudié une explication dans la section précédente : la chute du portefeuille de marché), le risque de crédit est lié aux variations de la qualité de la signature d’un émetteur. Ainsi, un prêteur X est soumis via l’achat d’une obligation émise par Y au risque que ce dernier ne rembourse pas le capital investi, à la maturité de l’obligation. Si Y ne peut pas faire face à ses engagements, cela signifie que Y a fait défaut. Les exemples historiques les plus marquants de défaut sont ceux d’Enron, Parmalat, et plus récemment les ménages subprimes américains. Tout l’enjeu est alors de modéliser la défaillance d’un émetteur de dette plus ou moins risquée dans le but de la mesurer.
1.2.2 Notation des agences
Les ratings des agences de notation sont déterminés sur la base d’opinions indépendantes, objectives, crédibles et transparentes. Cette opinion qualitative est en général présentée sous la forme d’une ou plusieurs lettres symbolisant la qualité de crédit de l’émetteur. L’ensemble de ces notations forme l’échelle de notation. Les ratings, qui s’appliquent aussi bien à l’émetteur qu’à l’instrument de dette émis, varient selon l’horizon auquel ils s’appliquent. Nous distinguons des ratings court terme (d’horizon égal ou inférieur à 1 an) et des ratings de long terme. Les agences ont des échelles différentes mais un point commun essentiel est la distinction entre les deux catégories investment grade et sub-investment grade ou speculative grade (cf. tableau 1.1). La première catégorie rassemble des firmes ayant une relative stabilité dans leurs modèles de développement et un niveau de risque modéré. La seconde catégorie inclut des émetteurs aux caractéristiques financières incertaines dont la probabilité de faire défaut est plus élevée.
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