Eléments introductifs a l’analyse des systèmes linéaires multivariables

Si les systèmes de commande à contre-réaction sont connus depuis l’Antiquité, le XIXe siècle pour les débuts industriels et surtout le XXe pour sa conceptualisation théorique ont réellement su utiliser l’idée fondamentale de cette structure de commande. Comment expliquer ces siècles d’absence quand la biologie et le comportement animal offrent tant d’exemples de systèmes régulés? Ce n’est certainement pas un hasard si la percée technologique de la rétro-action coïncide avec la révolution industrielle. Il est également peu douteux que la synthèse de la théorie de la commande et de la théorie de la communication opérée par Wiener et donnant naissance à la cybernétique soit la contribution majeure ayant permis de constituer l’Automatique comme champ scientifique à part entière. Le retard dans le développement des boucles de contre réaction provient de l’absence de définition mathématique claire de la notion d’information qui leur est indispensable. Cela montre à l’évidence que l’Automatique n’est pas un champ scientifique fermé. Ce champ est transversal dans ses applications allant de la régulation de l’économie à celle de la machine électrique en passant par le pilotage des lanceurs, l’asservissement des têtes de lecture dans les disques durs… Il emprunte ses outils aux mathématiques pures et mathématiques appliquées. Enfin, même si le vocabulaire est parfois différent, sa parenté avec le traitement du signal ne fait aucun doute. De nombreux outils privilégiés sont communs (calcul opérationnel, transformation…) mais plus important, le concept d’information y est également primordial.

Les principales avancées en commande des systèmes linéaires multivariables ont eu lieu dans les années 1960 et 1970, principalement suite aux travaux fondateurs de Kalman. En Europe de l’Ouest et en Amérique du Nord, ces résultats ont fait appel au formalisme de l’espace d’état, par opposition aux techniques algébriques ou polynomiales plus en vogue en Europe.

Après une relative accalmie dans les années 1980, la recherche sur les systèmes linéaires a été relancée dans le contexte de la « Commande Robuste ». Outre un formalisme mathématique rigoureux, un dénominateur commun de ces travaux a été le souci d’applicabilité et d’implémentabilité sur ordinateur des techniques développées. En 1982, un numéro spécial de la revue Américaine IEEE Control Systems Magazine a été dédié à l’automatique assistée par ordinateur (CACSD), et un comité technique dédié a vu le jour. C’est l’époque de développement du logiciel de calcul scientifique Matlab sur la base d’outils d’analyse numérique permettant la résolution fiable de problèmes de valeurs propres et d’équations algébriques matricielles (Lyapunov, Riccati).

L’avantage essentiel des techniques de Commande Robuste est de générer des lois de commande qui satisfont à la double exigence : son caractère appliqué et son adéquation aux problèmes pratiques de l’ingénieur automaticien, et sa contribution à la systématisation du processus de synthèse d’un asservissement. Plus précisément, étant donné une spécification fréquentielle du comportement désiré et une estimation de l’ordre de grandeur de l’incertitude, la théorie évalue la faisabilité, produit une loi de commande adaptée, et fournit une garantie sur le domaine de validité de cette loi de commande (robustesse). Cette démarche de synthèse est  et très générale. En particulier, elle est directement applicable aux systèmes à plusieurs entrées/sorties.

Analyse en performance des systèmes linéaires bouclés à temps continus

Un système linéaire bouclé à temps continu est calculé afin de modifier les caractéristiques du régime transitoire et celles du régime permanent du système nominal. Les performances d’un système bouclé doivent être définies et spécifiées précisément afin de faire une analyse et une synthèse adéquate du système de commande. Les spécifications de performances pour un système bouclé peuvent être constituées de critères temporels relatifs au régime transitoire, de critères fréquentiels en relations plus ou moins étroites avec ses dernières et des critères de précision sur le régime permanent [11].  Ces spécifications de nature différente ne vont pas s’en opposer parfois les unes aux autres conduisant le concepteur du système de commande à adopter un compromis entre ces différentes exigences contradictoires. Les spécifications de performances doivent être vues comme un moyen une liste de performances souhaitées et concepteur devra nécessairement tenir compte, dans son étape de synthèse, des propriétés du système bouclé à corriger.

Analyse robuste 

La conception d’un asservissement consiste à ajuster le transfert K (s)  du correcteur de manière à obtenir les propriétés et le comportement désirés en boucle fermée. Outre la contrainte de stabilité, on recherche typiquement les meilleures performances possibles. Cette tâche est compliquée par deux difficultés principales. D’une part, la conception s’exécute sur un modèle idéalisé du système. Il faut donc assurer la « robustesse » aux imperfections de ce modèle, c’est-à-dire garantir les propriétés désirées pour toute une famille de systèmes autour du modèle de référence. D’autre part, on se heurte à des limitations intrinsèques comme le compromis entre performance et robustesse.

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De nos jours, la théorie des systèmes linéaires s’intéresse plus particulièrement à l’optimisation du comportement. La recherche d’une commande permettant d’atteindre de tels objectifs en minimisant ou en maximisant, un critère donné, constitue le problème fondamental dans la théorie de l’optimisation. Ce problème est subdivisé en quatre parties :

– Définition de l’objectif ;
– Connaissance de la position actuelle par rapport à l’objectif ;
– Connaissance de l’environnement sur le passé, le présent et le futur ;
– Détermination de la meilleure stratégie.

Ainsi, pour résoudre un problème d’optimisation, il faut tout d’abord définir un objectif ou une fonction coût (fonctionnelle) d’où la nécessité d’une définition du problème en termes physiques et sa traduction ou modélisation en termes mathématiques. Pour commander effectivement un processus, il faut tout d’abord connaître son état, d’où le problème de l’estimation de l’état. Aussi, doit-on être capable de caractériser le système par un modèle mathématique qui dépendra, en plus de l’environnement du processus. Le problème qui se pose alors à ce niveau est celui de la modélisation et de l’optimisation. Ensuite, on parlera de la synthèse linéaire quadratique qui est la base de ce mémoire.

Table des matières

INTRODUCTION GENERALE
CHAPITRE 1 ELEMENTS INTRODUCTIFS A L’ANALYSE DES SYSTEMES LINEAIRES MULTIVARIABLES
1.1 Systèmes linéaires multivariables invariants à temps continu
1.1.1 Modèle d’état des systèmes à un vecteur d’entrées et à un vecteur de sorties
1.1.2 Modèle d’état des systèmes à deux vecteurs d’entrées et à deux vecteurs de sorties
1.1.3 Interconnexion de systèmes
1.2 Critère de commandabilité de Kalman
1.3 Critère d’observabilité de Kalman
1.4 Schéma bloc du système nominal et du système perturbé
1.4.1 Forme standard
1.4.2 Transformation fractionnaire linéaire d’une matrice
1.4.3 Modèles mathématiques des incertitudes structurées
1.4.3.1 Représentation des incertitudes paramétriques par
1.4.3.2 Représentation des incertitudes paramétriques par
1.5 Calcul de la norme
1.6 Analyse en stabilité des systèmes linéaires bouclés à temps continu
1.6.1 Marge de phase
1.6.2 Marge de gain
1.6.3 Marge de retard
1.6.4 Marge de module
1.6.5 Autres indicateurs fréquentiels
1.7 Stabilité interne
1.8 Théorème du petit gain
1.9 Analyse en performance des systèmes linéaires bouclés à temps continus
1.9.1 Introduction
1.9.2 Spécifications fréquentielles de performance nominales
1.9.3 Condition de performance nominale
1.10 Mise en forme de la boucle de commande
1.11 Modelage des matrices de sensibilité
1.11.1 Marge de module
1.11.2 Bande passante en boucle fermée
1.12 Analyse robuste
1.12.1 Forme standard pour l’analyse robuste
1.12.2 Formulation du problème standard pour l’analyse de la robustesse
1.12.3 Robustesse à la stabilité des systèmes linéaires
1.12.3.1 Définition 1.11
1.12.3.2 Théorème 1.04
1.12.4 Robustesse en stabilité des systèmes linéaires avec erreurs de modèle non structurées
1.13 Les formes de modèles d’erreurs
1.14 Gabarit de la robustesse en stabilité
1.15 Robustesse en performance
1.15.1 Définition 1.12
1.15.2 Théorème 1.05
1.16 Conclusion
CHAPITRE 2 COMMANDE OPTIMALE ET SYNTHESE LQG DES SYSTEMES LINEAIRES
2.1 Introduction
2.2 Problème de la commande optimale
2.3 Minimum d’une fonctionnelle
2.3.1 Définition 2.01
2.3.2 Propriétés de l’Hamiltonien
2.4 Commande optimale quadratique des systèmes linéaires continus
2.4.1 Position du problème
2.4.2 Matrice hamiltonienne
2.4.3 Expression de
2.4.4 Equation algébrique matricielle de Riccati
2.4.4.1 Définition 2.03
2.4.4.2 Propriété 2.01
2.4.5 Schéma fonctionnel de la commande optimale modale
2.4.6 Evaluation du critère de performance
2.5 Synthèse Linéaire Quadratique Gaussienne
2.5.1 Méthode Linéaire Quadratique
2.5.1.1 Présentation du problème
2.5.1.2 Recherche de la loi optimale
2.5.1.3 Propriétés de robustesse de la méthode LQ
2.5.2 Méthode Linéaire Quadratique Gaussienne
2.5.2.1 Position du problème
2.5.2.2 Problème de la synthèse LQG
2.5.2.3 Propriété modale de la commande LQG
2.5.2.4 Matrice de transfert de boucle
2.5.3 Méthode LQG/LTR
2.5.3.1 Introduction
2.5.3.2 Recouvrement asymptotique
2.5.3.3 Propriétés de robustesse de la méthode LQG/LTR
2.5.3.4 Propriété modale de la commande LQG/LTR
2.5.4 Synthèses LQ/LQG à pondérations fréquentielles
2.5.5 Choix des matrices de pondération
2.6 Conclusion
CONCLUSION GENERALE

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