Exercices corrigés sur les probabilités discrètes et cours SPSS

Extrait du cours les probabilités discrètes

Exercice 9 Notion d’indépendance – Utilisation d’un arbre.
Une urne U contient trois boules noires et sept boules blanches.
Une urne U1 contient cinq boules noires et cinq boules blanches.
On choisit une urne au hasard (équiprobablement) et on tire successivement deux boules, avec remise, dans l’urne choisie.
On note :
l’événement “obtenir une boule blanche au premier tirage”
l’événement “obtenir une boule blanche au second tirage”
Les événements B et B2 sont-ils indépendants ?
Exercice 10 Dénombrement – Loi binomiale
Un fournisseur livre deux catégories de câbles C.
Dans chaque livraison figurent 20% de câbles C et C2
et 80% de câbles C.
Les parties A et B sont indépendantes.
Partie A
Dans cette partie, aucun calcul approché n’est demandé.
On prélève, au hasard, 4 câbles dans une livraison de 50 câbles.
1) Préciser la probabilité de l’événement E = “les 4 câbles sont du type C”
2) Préciser la probabilité de l’événement F = “1 câble est du type C et 3 câbles sont du type C”
3) Préciser la probabilité de l’événement G = “au moins un câble est du type C”
Partie B1
Dans cette partie, on prélève un câble dans une livraison, on note son type et on le remet dans le lot. On réalise n fois cette expérience E et on note X le nombre de câbles C obtenus.
1) On suppose que n = 4. Les résultats seront donnés à 10 près.
a) Calculer la probabilité d’obtenir 2 câbles du type C.
b) Calculer la probabilité d’obtenir au moins un câble de type C.
c) Calculer l’espérance E(X).
2) Dans cette question n est inconnu.
a) Exprimer P(X  1) en fonction de n.
b) Combien de fois faut-il réaliser l’expérience E pour être sûr à 90% d’obtenir au moins un câble C
Exercice 11 Test de séropositivité
Un individu est tiré au hasard d’une population dans laquelle une personne sur 10000 est séropositive.
On lui fait passer un test de dépistage de séropositivité.
Sachant que le test est positif, quelle est la probabilité que la personne soit effectivement séropositive ?
Données :
• Si on est séropositif, alors le test est positif avec une probabilité de 0,99.
• Si on n’est pas séropositif, alors le test est positif avec une probabilité de 0,001.
Exercice 12 Comparaison de l’efficacité de deux vaccins.
Deux laboratoires pharmaceutiques proposent chacun leur vaccin contre une maladie.
On dispose des données suivantes :
• Un quart de la population a utilisé le vaccin A. Un cinquième le vaccin B.
• Lors d’une épidémie, on constate que sur 1000 malades, 8 ont utilisé le vaccin A et 6 le vaccin B.
On choisit un individu au hasard dans la population et on note :
M = “l’individu est malade” et V = “l’individu est vacciné”
On appelle “indicateur d’efficacité” d’un vaccin le réel :
probabilité qu’un individu non vacciné soit malade
probabilité qu’un individu vacciné soit malade Plus l’indicateur l est grand, plus la vaccin est efficace.
Calculer l pour chacun des deux vaccins. Que peut-on en déduire ?
Exercice 13 Pertinence d’un test de dépistage
Dans une population donnée, la proportion d’individus atteint d’une certaine maladie est x.
On dispose d’un test de dépistage de cette maladie et on voudrait étudier sa fiabilité.
On dispose des données suivantes :
• on effectue le test de dépistage à 100 personnes considérées comme malades : 98 ont un test positif.
• on effectue le test de dépistage à 100 personnes considérées comme saines : 1 seule a un test positif.
On choisit au hasard un individu de cette population et on le soumet au test.
On note : M = “l’individu est malade”
T = “l’individu a un test positif”
On note ƒ(x) la probabilité qu’un personne ayant un test positif soit malade.
1.Exprimer ƒ(x) en fonction de x. Tracer la courbe de la fonction ƒ sur l’intervalle [0, 1].
2.On considère que le test est fiable lorsque la probabilité qu’un individu ayant un test positif soit malade est supérieure à 0,95.
Le test est-il fiable si la proportion x d’individus atteints de la maladie est de 0,05 (5%) ?
À partir de quelle proportion x le test est-il fiable ?
Exercice 14 Estimation de la composition d’une urne.
1.On remplit une urne avec des jetons blancs et des jetons noirs. À chaque étape, il y autant de chance de rajouter dans l’urne un jeton noir qu’un blanc. On s’arrête lorsque l’urne contient 10 jetons.
On note X le nombre de jetons blancs dans l’urne.
Déterminer la loi de probabilité de X et calculer son espérance E(X).
2.Une urne a été remplie suivant le protocole précédent mais on ignore sa composition en jetons blancs et en jetons noirs. On tire successivement et avec remise, dix jetons de cette urne. On obtient 4 fois un jeton blanc et 6 fois un jeton noir. Calculer la probabilité que l’urne contienne 4 jetons blancs et 6 jetons noirs.

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