Simulation numérique

Notre travail consiste à étudier l’écoulement en convection forcée autour d’un cylindre poreux de section carrée placé dans un canal horizontal. Un certain nombre d’hypothèses et de conditions aux limites seront adoptées pour simplifier la prédiction des champs thermiques et dynamiques. Dans ce chapitre, deux parties seront considérées, la première sera réservée à la modélisation mathématique des transferts de chaleur convectifs en milieux poreux. Dans la seconde partie, nous abordons la discrétisation des équations adimensionnelles par la méthode des volumes finis ou nous développons un code de calcul FORTRAN pour la résolution de ces équations.  La formulation mathématique des phénomènes de convection est constituée par l’équation de continuité, l’équation d’énergie, et l’équation de quantité de mouvement basée sur le modèle de Darcy-Brinkman-Forchheimer faisant apparaitre les termes d’inertie et de viscosité ( Vafai et Tien, [17]; Vafai et Sozen, 1990 [ 140]; Kaviany, [9] ). Cette équation est déduite de la deuxième loi de la dynamique, qui stipule que la variation de la quantité de mouvement d’une particule fluide est égale à la somme des forces extérieures exercées sur cette particule. En adoptant le modèle de Darcy-Brinkman- Forchheimer faisant intervenir les termes d’inertie et de viscosité Hsu et Cheng, [106],Amiri and Vafai, Jiang et al, Alazmi and Vafai, [108],elle s’écrit sous forme tensorielle comme suit:  En général, le transfert de matière est analogue à celui de la chaleur. On applique le principe de la conservation de la matière à chaque composant dans le mélange.

Dans un second temps, les deux parois horizontales inférieure et supérieure du canal sont chauffées par un flux imposé à la paroi. Dans notre travail nous adoptons l’équation proposée par Jiang et al, où il a validé cette condition par un travail expérimental dans le cas d’un canal horizontal, avec des conditions semblables à celles adoptées dans cette étude. Concernant la vitesse, la condition d’adhérence sera imposée. La forme adimensionnelle est utilisée afin de trouver des solutions générales aux problèmes physiques indépendamment des systèmes de mesure. Elle permet aussi la simplification de la résolution des systèmes d’équations et la réduction des paramètres physiques. Pour faire apparaître les paramètres de contrôle du problème étudié, il est nécessaire d’introduire des grandeurs de référence. Cette partie porte sur l’élaboration d’un programme de résolution numérique des équations de Navier-Stokes régissant la dynamique de l’écoulement plan d’un fluide incompressible autour d’un cylindre poreux. Les écoulements de fluides sont décrits par le système d’équations aux dérivées partielles. Ainsi, tous les phénomènes physiques sont régis par ce système formé par les équations de continuité, de quantité de mouvement et d’énergie, qu’il convient de résoudre pour connaître les caractéristiques du champ thermique et du  champ d’écoulement.

Malheureusement, il est presque impossible de trouver une solution analytique à de tel système du fait qu’ils sont fortement non – linéaires. Le recourt aux résolutions numériques s’impose alors. Pour obtenir une solution numérique du problème étudié, on doit transformer les équations différentielles du modèle mathématique au moyen d’un processus de discrétisation en un format facile pour le processus numérique. Ce format n’est autre que le système d’équations algébriques obtenu après la discrétisation. Plusieurs méthodes numériques de résolution ont été élaborées. Parmi les techniques et/ou les méthodes de discrétisation les plus fréquemment utilisées dans les problèmes d’écoulements et de transferts thermiques, on peut citer la méthode des volumes finis, la méthode des éléments finis et les méthodes spectrales. Ces méthodes permettent de transformer le système d’équations aux dérivées partielles en un système d’équations algébriques Pour la présente étude, nous avons choisi la méthode des volumes finis, qui présente de multiples avantages. En effet, elle est simple à implémenter et elle garantit la conservation de la masse et de la quantité de mouvement dans chaque volume de contrôle et dans tout le domaine de calcul Patankar, 1980. Le principe de la méthode des volumes finis consiste à intégrer les équations de transport sur un ensemble discret de volumes finis jointifs, appelés volumes de contrôle, couvrant le domaine physique. Le résultat de la discrétisation en un point est une équation algébrique liant la valeur d’une variable aux valeurs des variables des points voisins.