Etude du système de protection

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Etude de la conduite d’évacuation

La partie supérieure du puisard est munie d’une bouche avaloir servant de trop-plein en saison de pluie . Elle est connectée à une conduite cylindrique d’évacuation en Polychlorure de Vinyle (PVC) de longueur 1,50m , de section intérieure 1,33.10 –4m² (1,33cm²), inclinée de 10° par rapport à l’horizontal. Elle est de même ordre de grandeur que la source dont la section est de 1,6.10 –4 m² (1,6cm²) .
Le 08 Décembre 2004 , 3 l d’eau sortant du puisard ont été analysés à la Direction de la Protection des Végétaux ( DPV ) de Nanisana pour connaître la viscosité cinématique de l’eau . Elle est égale à 1,5.10 –6 m².s-1 (1 ,5.10-2 cm2s-1). On est donc en présence d’un problème de dynamique d’un fluide réel en écoulement dans une conduite cylindrique. Le puisard est maintenant fermé hermétiquement à sa partie supérieure par une vitre d’épaisseur 5.10 –3 m (5 mm). L’écoulement dans la conduite cylindrique d’évacuation est alors en charge.

Hypothèses d’étude

- Le fluide est incompressible (  = constante)
- L’écoulement est permanent ( t  0)
- L’écoulement est laminaire
- L’extrémité aval de la conduite est exposée à l’atmosphère .

Profil de vitesse de l’écoulement

En considérant un système d’axes orthonormés IXYZ d’origine I au niveau de l’entrée de la bouche avaloir, l’axe IX confondu avec celui de la conduite
( Figure 13 ), les lignes de courant sont donc parallèles à l’axe IX par raison de symétrie. On est en présence d’un écoulement unidimensionnel caractérisé par la vitesse V, 0, 0) satisfaisant à l’équation de Navier-Stokes ( Annexe 2 ) :
Figure 13 : Conduite cylindrique inclinée et repère IXYZ
Comme la conduite est inclinée d’un angle  par rapport à l’horizontal, on a : où h désigne un axe vertical dont le sens est dirigé vers le haut. L’équation (27) se transforme en :
où P* = P + ρ g h s’appelle pression dynamique et  la viscosité cinématique de l’eau. la résolution de l’équation (29), développée en Annexe 3, donne un profil parabolique de la vitesse dont l’expression s’écrit :
où P1 et P2 représentent respectivement la pression de l’eau au niveau de la bouche avaloir et à la sortie de la conduite où elle est égale à celle de l’atmosphère .  est le coefficient de viscosité dynamique et R le rayon de la conduite . On est donc en présence d’un écoulement de Poiseuille.

Débit en volume

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Le débit en volume Q est égal au flux de la vitesse V à travers la section de la conduite :
Q = òò V . d S (S)
Or et dS sont colinéaires, et en considérant l’élément de surface dS une couronne circulaire de rayon r alors :

Pression à la partie supérieure du puisard

Le débit en volume Q est obtenu en faisant des mesures du volume d’eau recueilli à la sortie de la conduite pendant un intervalle de temps déterminé. L’expression (31) permet de tirer  P2 représente la pression au niveau de l’orifice de la conduite. Elle est égale à celle de l’atmosphère. Par conséquent, on obtient

Nombre de Reynolds de l’écoulement

Dans l’étude de l’écoulement d’un fluide réel , il est d’usage de faire intervenir le nombre adimensionnel de REYNOLDS établi en 1883 . Il peut être obtenu en rendant adimensionnel l’équation de Navier –Stokes ou en faisant le rapport des forces d’inertie aux forces de viscosité ( Annexe 2 ) :
Re = ρ V D  V D (36)
où r : masse volumique du fluide ( kg.m-3)
V : vitesse de l’écoulement (m.s-1)
m : coefficient de viscosité dynamique (Pl)
n : coefficient de viscosité cinématique ( m2.s-1) D : longueur caractéristique de la conduite , il représente ici son diamètre intérieur (m)
Ce nombre résume et renferme tout ce qu’il faut savoir sur l’écoulement qui peut être :
LAMINAIRE si Re < 2000
TURBULENT si Re ³ 2000