Fonctions logarithmes et autres fonctions exponentielles

1) a) f est une fonction définie et dérivable sur 3*+ car la fonction logarithme est définie et dérivable sur ce même intervalle. Et,

Donc > 0 Û x Î ]2, + ¥ [

      < 0 Û x Î ]0, 2 [

      = 0 Û x = 2.

On en déduit que f est strictement croissante sur l’intervalle [2, + ¥ [ et strictement décroissante sur l’intervalle ]0, 2 ].La courbe C  représentative de f admet pour asymptote la droite d’équation x = 0 c’est-à-dire l’axe des ordonnées.

2) La fonction f étant définie, dérivable et strictement monotone sur chacun des intervalles ]0, 2] et [2, + ¥ [, elle réalise une bijection de ]0,2 ] sur l’intervalle – image  d’une part, et une bijection de [2, + ¥ [ sur l’intervalle – image .

L’intervalle – image contenant la valeur 0 dans chacun des deux cas car 3 – 8ln2 < 0, on en déduit que 0 admet un unique antécédent par f dans l’intervalle ]0, 2 ], et un unique antécédent par f dans l’intervalle [2, + ¥ [Autrement dit, l’équation f(x) = 0 admet exactement deux solutions. On peut tout de suite remarquer que f(1) = 0 car ln1 = 0. Donc l’une de ces deux solutions est entière. D’autre part, f(3,2) » - 0,065 et f(3,3) » 0,339 donc f(3,2)´f(3,3) < 0. Le théorème des valeurs intermédiaires permet de conclure que, x0 désignant la seconde solution de l’équation f(x) = 0,x0  est élément de l’intervalle [3,2 ; 3,3 ].