DISTRIBUTION ET TRANSPORT DES VARIABLES DE MODELES POLYCRISTALLINS
Couplage des modèles polycristallins à la méthode EF
L’idée du couplage entre le modèle EF et les modèles polycristallins [DAW 2003] est d’utiliser la théorie de plasticité cristalline comme loi de comportement à chaque point d’intégration du maillage EF comme illustré Figure II.6. Le polycristal est représenté par un ensemble de monocristaux (typiquement de l’ordre de 1000). A chaque fois que le code EF a besoin d’information sur le comportement mécanique aux points d’intégration de chaque EF, le modèle micromécanique (modèle polycristallin) est appelé. L’actualisation de la texture cristallographique dans ce type de couplage est donc automatiquement prise en compte. L’avantage de ce type d’approche est le couplage direct entre la texture et le procédé de mise en forme. Lorsque le modèle EF est couplé à un modèle de Taylor ou encore un modèle auto-cohérent, les deux écrouissages « matériau » ou « latent » et « textural » ou « géométrique» sont pris en compte. L’hétérogénéité de déformation parmi les cristaux, la forme des grains et l’interaction entre les grains sont ainsi décrites au niveau microscopique. Ce couplage permet de prédire correctement l’anisotropie mais aussi l’évolution de la texture cristallographique et de l’anisotropie induite au cours de la déformation. Cependant le temps de calcul de ce type de couplage est très important. En effet, le temps CPU du modèle polycristallin est généralement proportionnel au nombre de cristaux représentatifs Modèles polycristallins 25 (cela dépend de loi de comportement retenue pour le glissement cristallographique), et ce modèle est appelé à chaque point d’intégration du maillage EF. Comparé au temps de calcul relatif à l’utilisation d’un modèle avec surface d’écoulement non réactualisée (cf. section II.2.2), le temps de calcul du couplage avec les modèles polycristallins est donc très important. Lorsqu’un modèle EF « microstructural » (cf. II.3.3.3.3) est lui-même couplé au modèle EF à l’échelle d’une pièce macroscopique (couplage connu sous le nom de méthode 2 FE ), l’évolution de texture, la forme des grains et les effets de topologie, l’interaction entre les grains, les distributions de contrainte et de déformation hétérogènes sont prises en compte. La méthode 2 FE [SMI 1998], [MIE 1999] résout un problème EF, dont les conditions aux limites évoluent de manière non linéaire ce qui augmente encore davantage le temps de calcul comparé à l’utilisation des modèles polycristallins tels que les modèles de Taylor ou auto-cohérents. Figure II.6 Couplage Modèles polycristallins / Méthode EF [KOC 1998]. II.4 Microstructure Sensitive Design Une nouvelle méthode, la méthode MSD, a été récemment développée par Kalidindi et al. et est utilisée de diverses manières [KAL 2004], [KAL 2005]. Elle a été initialement mise en place pour faciliter la résolution de problèmes inverses dans le design de la microstructure des matériaux, c’est-àdire pour répondre à la question suivante : « quelle doit être au départ la microstructure du matériau si l’on veut qu’il possède une certaine propriété ? ». Nous allons préciser l’application de la méthode dans le cadre des polycristaux. Pour la prédiction de l’anisotropie due à la texture cristallographique, la méthode MSD considère la représentation de la fonction de distribution des orientations f(g), non pas sous la forme discrète comme dans le cas des modèles polycristallins mais sous la forme d’un développement en série dans l’espace de Fourier. Cette représentation a été mise en place par Bunge [BUN 1993]. Elle permet de représenter la texture de l’échantillon comme un point dans l’espace de Fourier de dimension infinie, défini par les coefficients du développement de la FDO en série de Fourier. Les procédures pour obtenir les coefficients de Fourier pour une fonction f(g) utilisent en général une transformée de Fourier inverse. Elles sont détaillées dans [BUN 1993].
PRISE EN COMPTE DE L’ANISOTROPIE
L’espace d’Euler complet, représentant toutes les orientations possibles pour un monocristal, est discrétisé en un certain nombre d’orientations, ici environ 1000 mono-cristaux répartis uniformément. Les coefficients de Fourier pour chacun de ces mono-cristaux sont calculés. Pour calculer la contrainte résultante de l’application d’une déformation macroscopique donnée sur le polycristal, les auteurs procèdent de la manière suivante : – La dépendance fonctionnelle de chaque composante de contrainte monocristalline par rapport à l’orientation du réseau cristallin est exprimée dans l’espace de Fourier par des techniques de régression linéaire, pour différents tenseurs de gradient de vitesse imposés. – La contrainte sur le polycristal entier est ensuite déduite de l’expression (hypothèse de Taylor) : ij f (g) ij (g)dg ∫∫ σ = σ ( II.26). Ensuite, pour déterminer l’évolution de la texture, Kalindidi et al. [KAL 2005] utilisent la loi de transformation linéaire définie par Bunge et Esling [BUN 1984] qui donne l’évolution des coefficients de Fourier d’une texture pour un incrément de déformation donné en fonction des coefficients de la texture initiale et de constantes liées aux sollicitations mécaniques. Ces derniers paramètres peuvent être calibrés à l’aide du modèle de Taylor ou de mesures expérimentales, ou encore être aussi interpolés pour d’autres modes de déformation, après avoir été calculés une première fois pour certains modes. Une fois ces paramètres déterminés, cette représentation de l’évolution des coefficients de texture peut être utilisée récursivement pour prédire des textures pour de grandes déformations. Cette méthode est en plein développement. Actuellement, seulement certains tests ont été réalisés dans un cadre très simplifié afin de discuter de l’interpolation des variables et du nombre de termes nécessaire dans le développement en séries de Fourier [KAL 2005]. Nous pouvons imaginer le gain en temps de calcul offert par cette méthode une fois le matériau calibré (états de contrainte calculés en fonction de la déformation et des différents coefficients de Fourier possibles). Conclusion La revue des différents modèles permettant de décrire l’anisotropie lors de la mise en forme de procédés simulés par la méthode des Eléments Finis nous amène à choisir pour notre travail les modèles polycristallins. En effet, comparés aux modèles d’anisotropie décrits à l’aide d’une surface d’écoulement analytique, ils permettent de mieux tenir compte de l’effet de texture et de connaître, au cours de la déformation, l’évolution de la texture cristallographique et de l’anisotropie. S’il fallait réactualiser la surface d’écoulement périodiquement, le temps de calcul serait sans doute du même ordre. La méthode FE² permet de mieux tenir compte de la physique que le couplage des autres modèles polycristallins (Taylor, Auto-Cohérent) à la méthode EF. Cependant, l’utilisation de cette méthode génère des temps de calcul prohibitifs. Le choix du modèle polycristallin dépend, comme nous l’avons vu, entre autres de la structure cristalline du matériau. Les matériaux que nous étudions ont tous une structure cubique CFC. Nous avons donc choisi d’utiliser un modèle polycristallin dérivé de l’hypothèse de Taylor et notre choix s’est porté sur un modèle élasto-viscoplastique [DEL 2005], [DEL 2006].
II Prise en compte de l’anisotropie mécanique dans la modélisation des procédés de mise en forme |
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