Couplage AIG/MEG pour l’analyse de détails structuraux par une approche non intrusive et certifiée
Introduction à l’analyse isogéométrique
Dans cette partie, un ensemble d’informations sur l’analyse isogéométrique nécessaire pour la compréhension de la suite du manuscrit est rappelé. Plus de détails sont disponibles dans [44,82]. Dans cette thèse, les paramétrisations B-Splines et NURBS des exemples traités sont considérées comme connues ; pour aller directement de la CAO à une représentation adaptée à une analyse par l’AIG se référer par exemple à..
Bases de l’analyse isogéométrique Vecteurs noeuds et B-Splines
Les fonctions B-Splines sont définies à l’aide d’un vecteur-nœud Ξ = n ξ1, ξ2, …, ξn+p+1o . Ce dernier est constitué de coordonnées paramétriques ξi rangées dans l’ordre croissant, p étant le degré polynomial de la B-Spline et n le nombre de fonctions associées. Les nœuds ξi divisent l’espace paramétrique en éléments (ou « knot-span » en terminologie IG) et l’intervalle [ξ1; ξn+p+1] forme le patch isogéométrique. Par ailleurs, le vecteur-nœud est dit uniforme quand tous les nœuds sont uniformément espacés. Si le premier et le dernier nœud ont une multiplicité de p+ 1, alors le vecteur-nœud est dit ouvert. Dans ce cas, les fonctions sont interpolantes aux bords du patch IG ce qui facilite l’application des conditions aux limites. C’est pour cette raison que dans l’utilisation courante de l’AIG et dans la suite de nos travaux, seuls des vecteurs nœuds ouverts sont utilisés.
Fonctions
Non-Uniform Rational B-Splines
L’ensemble des fonctions NURBS : RAIG = {RAIG A } nA A=1 est défini à partir des fonctions B-Splines {NA} nA A=1. Pour ce faire, il faut introduire les poids {w AIG A } nA A=1 associés à chacun des points de contrôle PAIG = {P AIG A } nA A=1. Les fonctions rationnelles s’écrivent ainsi : R AIG A = NAw AIG A WAIG , avec WAIG = XnA A=1 NAw AIG A . (1.4) De la même façon que pour la définition des entités B-Splines (1.2), les objets NURBS sont définis de telle sorte que : V AIG = XnA A=1 R AIG A P AIG A = P AIGT RAIG. (1.5) Un exemple de surface NURBS, associée aux points de contrôle (points bleus), et dont le maillage de contrôle est en pointillés bleus, est donné sur la Figure 1.4. Les fonctions NURBS permettent de décrire exactement la géométrie d’une section conique. Les positions optimales et les poids des points de contrôle peuvent être déterminés en utilisant des logiciels CAO appropriés comme par exemple Rhino .
Méthodes de raffinement
Grâce à l’analyse isogéométrique, il est facile de raffiner globalement le maillage tout en conservant la géométrie de départ. La supériorité de l’approche par rapport aux EF traditionnels s’explique en majeure partie grâce à cette propriété. Il existe deux techniques de raffinement qui ne modifient pas la géométrie et la paramétrisation initiales : — L’élévation de degré : le degré des fonctions de forme utilisé pour décrire la géométrie est augmenté ce qui entraîne, afin de conserver la régularité de l’espace initial, l’augmentation de la multiplicité de chaque nœud. Cette technique de raffinement s’apparente à celle du p-raffinement éléments finis permettant l’élévation de degré de fonctions C 0 . Un exemple d’élévation d’ordre est donné par le passage de la Figure 1.5a à la Figure 1.5b ; 14— L’insertion de nœud : un ou plusieurs nœuds sont insérés dans le vecteur nœud initial. La continuité au niveau du nœud inséré est C p−1 s’il est n’inséré qu’une seule fois. Cette technique de raffinement s’apparente à celle du h-raffinement éléments finis si le nœud est inséré suffisamment de fois de sorte que la régularité des fonctions soit C 0 en ce nœud. L’influence de ce raffinement sur les fonctions de forme B-Splines est illustré par le passage de la Figure 1.5b à la Figure 1.5c où le nœud ¯ξ = 0.5 est inséré dans le vecteur nœud initial. Une type de raffinement supplémentaire émerge de ces deux précédentes techniques et est couramment appelée le k-raffinement. Il consiste en l’élévation de degré de p à q sur l’ensemble de la géométrie (grossière), puis en l’insertion d’un nœud interne ¯ξ une seule fois qui aura ainsi q − 1 dérivées continues. Ce raffinement est illustré par le passage direct entre la Figure 1.5a et la Figure 1.5c. Ce type de raffinement n’a aucune équivalence en éléments finis : il permet d’augmenter la régularité de l’espace d’approximation
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