Algèbre linéaire, diagonalisation

Montrer que si  est valeur propre de A, alors 2 est valeur propre de A2,…,n est valeur propre de An. 2°) Soit A une matrice telle que A3 = 0, avec A2 différent de 0. Montrer que A n’est pas inversible et que 0 est l’unique valeur propre de A. A est-elle diagonalisable ? 3°) Soit A une matrice telle que A3 – 2A2 – A + 2I = 0. Montrer que les valeurs propres de A sont dans {1, 1, 2}. 8. (escp 99 ; également autres espaces vectoriels) Soit M2(R) l’ensemble des matrices carrées d’ordre 2 muni de sa structure d’espace vectoriel et soit J la matrice J = . 1. On considère l’application S de M2(R) dans lui-même qui associe à tout élément M de M2(R) l’élément S(M) = J M J. Montrer que l’application S ainsi définie est un automorphisme de l’espace vectoriel M2(R). Quel est l’automorphisme réciproque de S ? Montrer que si M et N sont deux éléments quelconques de M2(R), on a S(MN) = S(M)S(N). 2. On considère les éléments I = J = K = L = . Montrer que (I, J, K, L) forme une base de l’espace vectoriel M2(R). 3. Montrer que I, J, K, L sont des vecteurs propres de S. Déterminer la matrice représentant l’automorphisme S dans la base (I, J, K, L). 4. Soit F l’ensemble des éléments M de M2(R) vérifiant S(M) = M et soit G l’ensemble des éléments M de M2(R) vérifiant S(M) =  M. Montrer que F et G sont des sous-espaces vectoriels de M2(R) et que tout élément M de M2(R) peut s’écrire d’une manière et d’une seule sous la forme M = M+ + M  avec M+  G.

A titre d’exemple, déterminer les matrices A+ et A lorsque A = . 5. a) Montrer que le produit de deux matrices appartenant à F appartient aussi à F. Que peut-on dire du produit de deux éléments de G ? b) Plus précisément, pour deux matrices M et N de M2(R), exprimer (MN)+ et (MN) en fonction de M+, M . 9. (inseec 2001) On considère la matrice carrée réelle d’ordre trois : A = et l’endomorphisme f de R3 de matrice A dans la base canonique de R3. 1) Déterminer une base de lm f et de Ker f. 2) On considère la matrice P = . Montrer que P est inversible et déterminer P1. 3) a) Déterminer les valeurs propres et les sous espaces propres de f. b) En déduire l’existence d’une matrice diagonale A’ telle que A =P A’ P1. 4) Dans cette question on s’intéresse aux solutions de l’équation matricielle M3 = A (*) où M est une matrice carrée réelle d’ordre 3. a) Montrer que si M vérifie la relation (*) alors M A = A M. b) On note X1 = , X2 = , X3 = . Si la matrice M vérifie la relation (*), déduire de la question précédente que X1, X2, X3 sont des vecteurs propres de M . c) En déduire l’existence d’une matrice diagonale M ‘ d’ordre 3 telle que M = P M ‘ P1. Quelle relation a t- on entre les matrices M ‘ et A’ ? d) Conclure. 10. (escp 2001) A. On considère la matrice A définie par : et on note  l’endomorphisme de R3 représenté par A dans la base canonique. 1. Montrer que A admet les valeurs propres 1 et 2 et n’en admet pas d’autres.

Déterminer les sous-espaces propres associés à ces valeurs propres. La matrice A est-elle diagonalisable ? 2. Soit V un vecteur propre de A associé à la valeur propre 1. Trouver un vecteur W de R3 tel que (W) = V + W. 3. Soit U un vecteur propre de A associé à la valeur propre 2. Montrer que la famille (U, V, W) est une base de R3. 4. Déterminer la matrice B représentant l’endomorphisme  dans la base (U, V, W) ainsi qu’une matrice inversible P telle qu’on ait l’égalité B = P1AP. B. On donne les matrices : et, pour (a, b, c)  R3 : M(a, b, c) = aI + bH + cN. On considère le sous-ensemble E de M3(R) des matrices M(a, b, c) quand (a, b, c) décrit R3. 1. Montrer que E est un espace vectoriel, préciser sa dimension. 2. Préciser les conditions que doivent vérifier a, b, c pour que M(a, b, c) soit inversible. Déterminer alors sa matrice inverse. 3. Déterminer les valeurs propres de M(a, b, c).

Montrer que M(a, b, c) est diagonalisable si et seulement si c = 0. 11. (hec 2001) On note m un paramètre réel et on considère les matrices Hm définies par . 1°) On suppose dans cette question que m = 2. Déterminer les valeurs propres de la matrice H2 et les sous-espaces propres associés. La matrice H2 est-elle diagonalisable ? Si oui, donner une base de vecteurs propres.  Etudier de même les valeurs propres et les sous-espaces propres de la matrice H0. Cette matrice est-elle diagonalisable ? 3°) a) Montrer qu’il existe un réel a, que l’on déterminera, qui est une valeur propre de la matrice Hm pour toutes les valeurs du paramètre m. b) Déterminer, pour chaque valeur de m, le sous-espace propre de Hm associé à la valeur propre a. Montrer qu’on peut trouver un vecteur non nul v1 appartenant à tous ces espaces. 4°) soit F le sous-espace de R3 engendré par les vecteurs v2 = (1, 0, 1) et v2 = (1, 1, 0). Déterminer les vecteurs hm(v2) et hm(v3) et montrer que ces vecteurs appartiennent à F pour tout m réel. 5°) En se plaçant dans la base de R3 formée par les vecteurs v1, v2 et v3, déterminer les valeurs de m pour lesquelles la matrice Hm est diagonalisable.