Algorithme de Katz

Dans cette section, nous présenterons un algorithme dû à Katz, un des principaux résultats de son livre Rigid local systems [Kat96], très important dans l’étude des systèmes locaux irréductibles rigides. Cet algorithme a beaucoup été étudié et a eu de nombreux développements (notamment [Rob99], [DR00], [Sim09] et [DS13]). Le plan de ce chapitre 3 sera le suivant : des petits disques ouverts épointés centrés en chacun des s ∈ Σ qui ne s’intersectent pas deux à deux. Précisons que l’on entend par petit disque ouvert centré en ∞ l’image d’un petit disque ouvert centré en 0 par l’application z 7→ 1/z. Ce dernier résultat est dû à Scott [Sco77], mais il est à noter qu’il existe une preuve très simple de l’inégalité seule n’utilisant que des outils d’algèbre linéaire élémentaire (voir [Beu08, th. 1.4.2] et [Sab12]). 1. la multiplication par un système local sur X de rang un 2. la convolution intermédiaire par un système local sur C.

Lemme de Scott

 En terme de monodromie, un système local sur X de rang un est donné par une famille de complexes (λ . En particulier, l’opération de multiplication préserve le rang et est inversible.(ii) La multiplication préserve l’irréductibilité d’une part, et la rigidité d’autre part dans la mesure où End(L) ‘ End(L ⊗ F) et donc rig(L) = rig(L ⊗ F). dans la catégorie des systèmes locaux sur X. Contrairement à la partie précédente, on n’oblige a priori pas λ à être de module 1. (L) ? Pour cela, il est utile d’avoir une interprétation matricielle de l’opération de convolution intermédiaire sur les monodromies, faite par Dettweiler et Reiter dans [DR00]. En notant T 1. L’algorithme de Katz se termine se termine avec un système local de rang 1, il est donc possible de faire une dernière opération de multiplication pour amener ce dernier sur le système local de rang 1 de monodromies triviales (1, …, 1). 2. Les deux opérations utilisées dans l’algorithme étant inversibles, il est possible en reprenant l’algo- rithme dans l’autre sens d’obtenir tout système local irréductible rigide à partir du système local de rang 1 de monodromies triviales (1, …, 1).} de rang 1 de monodromies triviales (1, 1, 1, 1) une certaine suite de multiplications et de convolutions intermédiaires, Dettweiler et Reiter obtiennent dans [DR10] un système local irréductible rigide de rang 7, tel que l’adhérence de Zariski du groupe engendré par ses monodromies dans GL .