Analyse globale de la population des particules

L’analyse des distributions volumiques des particules dans l’épaisseur de la tôle est fondamentale pour appréhender sa microstructure et donc, comprendre son comportement au cours du processus de laminage utilisé pour obtenir à partir du lingot initial qui correspond à l’état brut de coulée, une feuille de métal utilisable pour l’emboutissage de pièces industrielles. Ce chapitre est divisé en quatre sections. Nous proposons d’abord, trois techniques d’analyse de la distribution des particules basées sur des méthodes di¤érentes et apportant chacune des informations complémentaires. La première s’intéresse à la distribution des distances aux intermétalliques dans le volume de la matrice d’aluminium composant l’alliage. La seconde présente l’étude du moment de l’image basée sur la méthode de l’érosion linéaire. La dernière est basée sur la mesure de la covariance de l’image. À partir des résultats obtenus, nous avons construit un modèle probabiliste qui permet de simuler la microstructure de l’alliage après solidi…cation. Ce modèle permet de générer des populations de particules présentant des ‡uctuations de morphologies observées dans AA5182 et ainsi d’explorer de façon numérique les variations de morphologie possible. Ce modèle est de type schéma booléen. Il est paramétré à partir de la covariance des intermétalliques mesurée directement sur les images du matériau réel. 

Etude de l’histogramme des distances

 La transformation d’une image binaire en une image représentant la distance entre les voxels égaux à un et ceux à zéros les plus proches est souvent utilisée en analyse d’images et apparaît avec les travaux de G.Matheron en 49 Analyse globale de la population des particules Chapitre 4. Analyse globale de la population des particules 1967 [58], puis les travaux de A.Rosenfeld et J.L.Pfaltz en 1968 [81]. Elle permet en prenant la fonction distance dans les objets de dé…nir la notion de squelette, chapitre 11 de l’ouvrage édité par J.Serra [61]. Elle sert également au calcul des zones d’in‡uence des objets en mesurant la fonction distance dans la matrice [84]. Les applications sont nombreuses, par exemple la segmentation , l’estimation de la fraction volumique locale . L’histogramme des distances permet quant à lui d’obtenir de l’information sur la distribution d’objets dans un volume(voir dé…nition de l’histogramme en annexe D). L’étude du graphe des distances obtenu à partir de l’image binaire composée des particules intermétalliques de la phase au fer (Alx(Fe,Mn)) dispersées dans la matrice d’aluminium va nous renseigner sur la distance moyenne entre les particules, la présence d’échelles d’inclusion (du par exemple à la formation d’amas), etc… Nous dé…nissons tout d’abord la notion de métrique ainsi que la fonction distance dans le cadre de la morphologie mathématique. Ensuite, nous montrons la mise en oeuvre de la mesure du graphe des distances sur les images binaires tridimensionnelles de AA5182. En…n, nous discutons des résultats obtenus sur le matériau à trois états de déformation (10%, 82%, et 123,5%).

Définition

 Une métrique d dé…nie sur un espace E est une fonction positive qui associe une valeur numérique à tout point a1 et a2 de l’espace. Une métrique répond aux trois axiomes suivants : – d (a1; a2)  0 et d (a1; a2) = 0 , a1 = a2 – d (a1; a2) = d (a2; a1) – d (a1; a2)  d (a1; a3) + d (a3; a2) Il existe di¤érents types de distances discrètes véri…ant les axiomes d’une métrique. Dans le cas de l’étude du graphe des distances nous présentons trois types de distances fréquemment utilisés (…gure 4.1) : la distance euclidienne, la distance d6 ou city block, et la distance d26 ou chess board [81] [12] [13] [85]. La distance euclidienne La distance euclidienne de entre deux points a1 (x1; y1; z1) et a2 (x2; y2; z2) de l’espace E est dé…nie par l’équation 4.1, la mesure est e¤ectuée comme si les deux points se trouvaient dans l’espace euclidien R 3 . Les relations de voisinages entre les points du fond ou de l’objet ne sont pas pris en compte. En pratique la distance euclidienne est arrondie pour des questions de gestion de place mémoire [81] [23] [21] [62]. La fonction distance arrondie à la valeur entière la plus proche est une semi-métrique. Elle ne satisfait plus en e¤et le 3 eme axiome représentant l’inégalité triangulaire.

 Mise en oeuvre

Le calcul de l’histogramme des distances a été réalisé avec le logiciel Morphée c du Centre de Morphologie Mathématique de l’École Supérieure des Mines de Paris. Les particules intermétalliques étudiées sont les phases au fer de type Alx(Fe,Mn). Les di¤érentes distances présentées dans le paragraphe précédent sont implémentées sur Morphée c [26]. Néanmoins, compte tenu de la taille des images à analyser, la métrique qui a été retenue est la distance d6. En e¤et, la mesure de la distance euclidienne exacte serait trop coûteuse en temps de calcul, mais également en espace mémoire puisque la taille des images serait multipliée d’un facteur 4 3 . La distance d6 présente une meilleure approximation de la distance euclidienne que la distance d8; tout en présentant des temps de calcul raisonnables. En chaque voxel de l’image, la fonction distance de type d6 est mesurée. Nous calculons ensuite l’histogramme de l’image obtenue (temps d’exécution 2h pour une image 1280  1280  1280 sur une station de calcul de type bi processeur). Ainsi nous comptabilisons pour chaque plage de distance le nombre de voxels de l’image correspondant. Pour comparer le résultat des histogrammes des distances correspondant à l’étude de di¤érents échantillons, nous divisons les résultats obtenus par le nombre de voxels de l’image entière. Nous obtenons ainsi une unité constante correspondant aux fractions volumiques de l’image.

 Résultats

 Nous avons mesuré l’histogramme des distances correspondant à la distribution des distances d’un point quelconque de la matrice aux particules intermétalliques de type Alx(Fe,Mn). L’étude a été réalisée pour trois taux de déformation di¤érents de l’alliage au cours du procédé industriel de laminage à chaud 10%, 82% et 123,5 %. L’histogramme des distances obtenu (…gure 4.2) présente en abscisse la distance en voxel séparant un voxel de la matrice du voxel appartenant à la phase des intermétalliques de type Alx(Fe,Mn) le plus proche (1voxel = 0; 7m). En ordonnée, la fréquence des voxels appartenant à chaque classe de distance est reportée. Sur la …gure 4.2, l’origine du graphe correspond aux voxels dont la valeur de la fonction distance est restée à zéro, c’est à dire les voxels appartenant à  la population de la phase au fer. La valeur prise par le graphe des distances à l’origine est donc égale à la fraction volumique des intermétalliques de type Alx(Fe,Mn). Pour les matériaux déformés à 10% et 82% elle est égale à 0,5% tandis que celle du matériau déformé à 123,5% est égale à 0,7%. Le pic maximum de chaque courbe correspond à la distance caractéristique entre les intermétalliques de la phase au fer dans l’alliage. Les pics secondaires correspondent à une autre échelle qui représente la distance caractéristique entre les particules dans des amas par exemple. Nous remarquons sur la …gure 4.2 que le maximum de l’histogramme des distances pour chaque état de déformation se déplace de la droite vers la gauche. La distance caractéristique entre les particules diminue donc au cours du processus de laminage à chaud. Elle est égale à 48 voxels soit 33,6m pour le matériau déformé à 10%, 38 voxels soit 26,6m pour le 82% et 36 voxels soit 25,2m pour le 123,5 %. Nous observons également un resserement autour du maximum de la courbe traduisant le processus de fragmentation des particule