Dimension fractale

Nous savons tous qu’un point est une figure de dimension 0, qu’une ligne droite est un objet de dimension 1; qu’une surface plane est un objet de dimension 2; qu’un volume est de dimension 3… Mais qu’en est-il d’un objet fractal? La dimension fractale est avant tout un paramètre permettant de quantifier la complexité d’un signal ou d’une image. Elle est un nombre réel quelconque. Pour déterminer la dimension fractale d’un objet il faut compter le nombre moyen de motifs répétés contenus dans une sphère de rayon k centrée en un point donné de l’objet. Ce nombre de motifs est donné par n = kd et la dimension fractale est ainsi égale à : d = ln nln k (1.1) De façon intuitive, la dimension fractale indique un certain degré d’occupation de l’espace physique par une forme fragmentée, ramifiée, tortueuse (Lopes, 2009). Elle décrit la complexité d’une forme. Elle caractérise aussi le comportement auto-similaire d’une surface.

Cette caractéristique n’est généralement pas acquise par les surfaces naturelles, mais elle est respectée en moyenne par les textures. Pour toutes ces raisons, la dimension fractale est dans la plus part des cas utilisée pour caractériser une texture (Nailon, 2010). En fait, la dimension d’une fractale n’est pas entière. C’est d’ailleurs là-dessus que se base Benoît Mandelbrot pour définir une fractale. Un ensemble pour lequel la dimension de Hausdorff (ou dimension fractale) dépasse la dimension topologique. Mais cette définition exclut des ensembles que certains considèrent comme des fractales Aussi Sans entrer dans les détails, on peut penser qu’un objet bizarre comme la courbe de Koch, qui a une longueur infinie tout en ne remplissant qu’une région très limitée du plan, doit avoir des propriétés très particulières. En fait on peut démontrer que sa dimension est égale à log4/log3 (1.26). Presque tous les objets fractals ont des dimensions non entières. En résumé, une fractale peut donc être de dimension 0.63 c’est à dire à mi-chemin entre un point et une ligne (figure1.3), ou encore 1.26, entre une ligne et une surface (figure1.4). Par exemple, une ligne très contorsionnée (qui n’est pas forcément une fractale) se rapproche plus d’une surface que d’une ligne.

Méthodes de mesure d’air

Les méthodes dites de « mesure d’aire » utilisent des éléments structurants (triangle, carré, cercle..) et des opérations morphologiques (érosion, dilatation, …) à différentes échelles r et calculent l’aire A(r) de la surface étudiée à cette échelle. La DF est obtenue par régression linéaire de la pente de la courbe du logarithme de A(r) en fonction du logarithme de r. dans cette classe de méthodes, trois algorithmes sont les plus utilisés :

a. Méthodes des prismes triangulaires La méthode de prisme triangulaire a été introduite par Clarke en 1986 (Clarcke, 1986) de la façon suivante : Dans une image en niveau de gris, représentée dans un espace (O, X, Y, Z), chaque quatre pixels adjacents du plan (O,X,Y) constituent un carré (fenêtre d’analyse). Soit abcd ce carré de côté s et de centre e. l’idée est alors de calculer la surface du prisme triangulaire de chaque fenêtre d’analyse de taille s, puis de calculer la surface As qui correspond au total des surfaces de tous les prismes triangulaires obtenus. La procédure se répète pour différentes tailles s, et la pente p de la droite de régression de l’ensemble de points (log s, log As) est calculée pour déterminer la dimension fractale D de l’image suivant l’équation : D= (2-P). Un prisme triangulaire est obtenu en reliant les quatre niveaux de gris A, B, C, D ayant respectivement les positions a,b,c,d (angle de la fenêtre d’analyse) avec la valeur moyenne E correspondante (E est affectée à la position e du centre du carré). Sa surface représente la somme des surfaces des quatre triangles DEA,AEB,BEC, et CED qui le forment (figure 1.15).

b. Méthodes de recouvrement des blancs Le but de cette méthode est de calculer l’aire de la surface des niveaux de gris et ainsi d’estimer la DF de la surface 3D (Peleg et al 1984). On considère tous les points dans un espace 3D (la troisième dimension étant le niveau de gris) séparés par une distance E, et une surface est recouverte donc avec un élément structurant d’épaisseur 2E. Cette couverture est déterminée par deux surfaces, l’une dite maximale obtenue par dilatation et l’autre minimale obtenue par érosion. Avantages Si l’image avait ses niveaux de gris inversés, la DF estimée ne changerait pas. Inconvénients Cette méthode donne de bonnes estimations seulement lorsque la valeur théorique de la DF est relativement faible (Asvestas et al, 1999).Le résultat de la DF dépend fortement du bruit dans l’image (Renaud, 2009).

Application de la géométrie fractale dans l’analyse des images médicales L’étude de la dimension fractale des images fait l’objet de plusieurs travaux de recherche notamment dans le domaine de l’imagerie médicale (Georgia et al, 2000), (Patel et al, 2010), (Zehaniet al, 2011) (Rouai et Dekayir, 2001). Par exemple l’oeil humain ne suffit pas toujours pour détecter si une lésion qui apparaît sur une radiographie est une tumeur cancéreuse. On a besoin d’une mesure. La dimension fractale est une des mesures utilisées et les chercheurs étudient la pertinence de ce paramètre pour aider le médecin dans son diagnostic. (Zook and Iftekharuddin, 2005) ont présenté un algorithme pour la détection des tumeurs cérébrales sur des images IRM en 2D. Le principe était le suivant: la DF de l’hémisphère gauche du cerveau était comparée avec celle de son opposé, en supposant que la lésion était localisée uniquement dans l’un des deux hémisphères. Les auteurs ont trouvé que les régions avec la tumeur ont une DF plus petite que celle sans la tumeur. Les auteurs ont aussi comparé l’efficacité de différentes méthodes de calcul de la DF (une version modifiée de la méthode de « comptage des boîtes » (MCBL la méthode des triangles (MT) et celle de recouvrement des blancs (MRB)).

D’après les résultats qu’ils ont obtenus la méthode des triangles offre la meilleure détection des tumeurs. (Dobrescu et al, 2010)ont proposé une méthode pour la classification des tumeurs de la peau, l’analyse de texture et la dimension fractale sont des techniques qui peuvent discriminer entre les formes de tumeurs bénignes et malignes.Les auteurs ont proposé un algorithme qui permet la détection automatique de la malignité des tumeurs de la peau qui est basé sur les deux caractéristiques : caractéristique local(la dimension fractale calculée par la méthode de comptage de boites) et la caractéristiques de texture qui découle de la matrice de co-occurrence moyennes (contraste, l’énergie, entropie, homogénéité). L’algorithme a été testé sur un ensemble d’images médicales de diagnostic connu et les résultats expérimentaux confirment l’efficacité de la méthode proposée. (Liu et al, 2003) ont squelettisé le cervelet humain et ont montré que la structure obtenue est hautement fractale. Ils ont mesuré sa dimension fractale avec la méthode de comptage de boite. Ils ont utilisé une base de données contenant 24 images IRM du cerveau, (sujets jeunes sains : 12 femmes, et 12 hommes). Les résultats indiquent que le squelette CB a une structure fractale, avec une dimension fractale égale 2.57 ± 0.01. Il n’y a pas eu de différences significatives entre les femmes et les hommes en termes de DF du cervelet. (Lopes, 2009) proposé une méthodologie automatique de caractérisation des foyers épileptogènes basée sur la géométrie fractale 3D (figure1.17). Il est utilisé ces méthodes pour la détection des tumeurs prostatiques sur des images IRM (figure1.18). Ils ont montré que la caractérisation de l’hétérogénéité par géométrie fractale, en dépit de la comparaison des intensités des voxels est plus même à détecter de faibles variations du débit sanguin.

Analyse multifractale

L’inconvénient majeur de l’application de l’analyse fractale sur les images est que celles-ci ne sont pas toujours de nature fractale. L’analyse multifractale est une solution à ce problème, Un ensemble multifractal est composé de sous-ensembles iso-fractals, et chacun des sous-ensembles se révèle être un ensemble fractal s’il exhibe la même structure géométrique à différentes échelles (Sarkarand, Chaudhuri, 1995). L’idée de départ, est d’analyser la régularité locale du signal puis de mesurer la taille des ensembles de points de même régularité : C’est la notion de dimension qui est définie. (Ethel Nilsson May, 2007) Pour une image il s’agit, plus précisément d’assigner le même exposant d’échelle aux pixels de même régularité locale. En traitement d’image on cherche souvent à repérer des objets ou structures distinctes (muscle, os, lesion…). C’est le domaine de la segmentation. L’approche multifractale qui permet une répartition des pixels selon cet exposant géométrique (dimension fractale locale) devient alors une des méthodes de segmentation d’image (Perrier et al, 2006). Ainsi l’analyse multifractale a trouvé de nombreuses applications dans des domaines aussi variés que l’astrophysique, la géophysique, la biologie le traitement d’image ou les télécommunications. Dans ce chapitre nous commencerons par citer des notions de bases sur l’analyse multifractale. Ensuite nous définirons le spectre multifractal, et présenterons quelques méthodes pour calculer les paramètres représentatifs (exposant de Hölder).

Origine du formalisme multifractale

Le formalisme multifractal a été formalisé initialement par G. Parisi et U. Frisch (parisi, Frisch. 1985). Il devait à l’origine permettre d’étudier la complexité des signaux obtenus par des enregistrements très précis de la vitesse d’un écoulement turbulent et d’introduire une méthode pour les classifier. Les signaux ainsi mesurés paraissent non seulement très irréguliers mais leur irrégularité semble aussi varier brutalement d’un point à l’autre. Ces observations sont en contradiction avec la théorie de la turbulence homogène et isotrope introduite par Kolmogorov en 1941 (Kolmogorov. 1941), selon laquelle la vitesse de l’écoulement devrait avoir partout la même irrégularité. Le formalisme multifractal est ainsi issu de la rencontre de la théorie de la mesure, de la théorie des systèmes dynamiques et de la physique statistique : Les concepts habituels de la thermodynamique (pression, température, énergie libre, entropie, …) sont transposés dans le langage des systèmes dynamiques. Le concept de spectre des singularités apparait en 1986 dans les travaux de Halsey et al (Halsey et al. 1987) sur les mesures invariantes d’attracteurs étranges de certains systèmes dynamiques. Il s’avère que le spectre des singularités d’une mesure singulière (Halsey et al. 1987) (Bohr, Tèl. 1988) est intimement relié à celui des dimensions généralisées de Renyi, introduit quelques années auparavant (Grassberger, Procaccia. 1983). A la suite de ces travaux, le formalisme multifractal est désormais lié à l’estimation du spectre des singularités d’un objet multifractal. Les fractales non uniformes sont qualifiés de multifractales : Un objet multifractal est aussi invariant par dilatation, cependant le facteur d’échelle dépend du détail observé. L’analyse multifractale fournit une description à la fois locale et globale des singularités d’un signal : la première est obtenue via l’exposant de Hölder et la seconde grâce au spectre multifractale(Testud, 2002). Ce qui nous donne la répartition des singularités sur le support du signal de façon géométrique et statistique (Syarry, 2007).