Application de la méthode des lignes de courant à un cas plus complet

Dans cette partie on va appliquer la méthode des lignes de courants à un modèle de bassin plus complet et réaliste que dans le modèle déjà traité dans la partie précédente. Il y aura plusieurs différences dont les plus importantes sont la compaction et la génération de l’huile. 1- Compaction: Au cours de la formation du bassin les sédiments sont déposés dans le bassin, ensuite ils se compactent sous le poids des sédiments sus-jacents. Dans les sédiments compactés on peut constater d’abord un changement du volume et une diminution de la porosité, ainsi qu’une expulsion de l’huile pour les sédiments qui en contiennent (les roches mères). Sur le modèle mathématique ceci se traduit par une variation au cours du temps du domaine de résolution du système et de la porosité, ce qui implique une vitesse totale dont la divergence n’est pas nulle ( voir équation ci-après). 2- Génération de l’huile: Certains matériaux déposés dans le bassin pendant sa formation contiennent des débris organiques. Puis, par des réactions chimiques, ces débris donnent naissance à une matière organique appelée kérogène. Ensuite celle ci se transforme sous l’effet du temps et de la température pour donner de l’huile et du gaz. En général il y a deux étapes appelées craquage primaire et craquage secondaire. Dans le système des équations mathématiques ceci se traduit par l’apparition des termes sources dans les équations de conservation de la masse, et on a aussi un terme de plus dans la relation de la divergence de la vitesse totale. La méthode des lignes de courant sera implantée dans le code Visco3D1 , un code développé à l’IFP pour la modélisation des bassins. On rappelle que dans l’ étude d’un bassin sédimentaire, on peut distinguer plusieurs phénomènes physiques. Les plus importants d’entre eux sont: 1. Evolution géométrique du bassin 2. Evolution thermique 3. Génération d’huile à partir de la matière organique 4. Ecoulement polyphasique dans le bassin La méthode des lignes de courant sera appliquée aux équations de l’écoulement (i.e le quatrième point), les autres équations seront traitées numériquement par le code Visco3D. Dans Visco3D, on utilise deux types de schémas pour traiter les équations de la saturation: • Schéma IMPES: Ce schéma nécessite une condition CFL sur le pas de temps pour qu’il reste stable au cours de la modélisation, ce qui oblige à faire plus souvent une résolution d’un système linéaire (équation de la pression), et augmente le temps de calcul. • Schéma Fully Implicite: Ce schéma ne demande pas de condition sur le pas de temps. Par contre à chaque pas de temps on a un système non linéaire à résoudre, cette étape est très coûteuse. Ces deux schémas vérifient le critère de la conservation des bilans de fluides. On donnera dans la suite le schéma IMPES, pour le schéma Fully Implicite.

Discrétisation des équations

Nous donnons dans cette partie le schéma numérique utilisé dans Visco. La discrétisation en espace est faite avec un schéma volume fini centré sur les mailles, tandis que pour la discrétisation temporelle on utilise:

• Un schéma d’Euler implicite pour les équations de la pression et de la contrainte.
• Un schéma d’Euler explicite pour l’équation de la saturation.

On obtient donc un système découplé en pression-contrainte saturation, on résout un système linéaire pour connaitre la pression et la contrainte, puis on met à jour la saturation.

Notions du maillage

Discrétisation en temps

La durée de simulation est divisée en grands intervalles du temps ([Tj, Tj+1[)0≤j<Evmax appelés événements. Chaque événement correspond à une période géologique pendant laquelle une nouvelle couche se dépose. Ainsi, le nombre des mailles augmente à ces instants Tj. Evmax ∈ N est le nombre maximal des événements.Ensuite, pour chaque événement Evj on a une subdivision de l’intervalle [Tj, Tj+1[. dont le pas de temps est géré dans le code visco selon les variations de la saturation, la porosité et la pression.

Maillage du bassin

Le maillage est défini par un ensemble de colonnes d’arêtes verticales s’appuyant sur une grille horizontale cartésienne. Chaque colonne contient le même nombre d’arêtes verticales, qui peuvent éventuellement être de hauteurnulle.La géométrie d’une arête est définie par sa hauteur solide qui évolue au cours du temps par dépôt ou érosion.A chaque début d’événement le nombre d’arêtes dans chaque colonne est augmenté de un.Une maille est alors définie par la donnée de quatre arêtes verticales voisines dans la même couche. On note M l’ensemble de toutes les mailles, bien entendu le maillage M dépend du temps. A chaque instant t n, on note pour une maille p de M:

• Volnp le volume de la maille p dans le maillage à t n, ce volume change au cours du temps selon la compactionde la maille p.• Aσ,p l’ensemble des interfaces de p, pour chaque σ on notera S n σ la surface de σ à l’instant t n qui peut être de mesure nulle.

• Rp l’ensemble des arêtes verticales de p à l’instant t n

Calcul des saturations, schéma IMPES On suppose qu’on a deux instants t n et t n+1 et qu’on connait les valeurs des fonctions à l’instant t n (i.e P n α , S n α , σ n et Φn ). On cherche à calculer les valeurs de la saturation à t n+1 . La méthode IMPES consiste à résoudre d’abord l’équation de la pression et trouver Pα, σ et Φ à l’instant t n+1 , puis calculer les valeurs des saturations à t n+1 .