APPLICATION DE L’ANALYSE MULTICRITERE AU CHOIX D’UNE FILIERE DE TRAITEMENT DES REJETS URBAINS

CONCEPTS DE BASE DE LA METHODE ELECTRE I 

Pour avoir la meilleure filière de traitement des rejets urbains, il est utile d’appliquer l’analyse multicritère telle ELECTRE qui permet la prise de décision par Elimination Et Choix Traduisant la Réalité d’après B.Roy [33] et qui constitue une méthode de surclassement. Cette méthode donnerait le meilleur résultat en tenant compte de plusieurs critères distincts. Parmi les méthodes ELECTRE, il y a ELECTRE I, ELECTRE II, ELECTRE III, ELECTRE IV, ELECTRE IS, ELECTRE Tri. Dans cette étude, le problème est de choisir une meilleure filière. Il ne s’agit pas de classer toutes les filières depuis les meilleures jusqu’aux moins bonnes. La relation de surclassement que nous utilisons et qui compare deux filières et qui permet d’obtenir la meilleure, n’effectue pas de choix rigoureux. C’est pourquoi, nous utilisons dans cette étude l’ELECTRE I qui est une méthode simple pour trouver une meilleure action. Les difficultés de celle-ci consistent : • à estimer les actions qui vérifient la relation de surclassement effectuant le choix d’une meilleure action entre deux actions à comparer ; • à les partitionner en sous-ensemble spécifique appelé noyau contenant les actions les plus difficiles à comparer entre elles et parmi lesquelles se trouve la meilleure action ; • et à les ranger en sous-ensembles qui donnent la répartition des actions. Il s’agit donc de faire respectivement un choix puis une sélection et enfin un rangement des actions retenues. Dans ce chapitre, nous allons développer le principe général de cette méthode. 3.1 Données de départ Un problème de décision multicritère est une situation dans laquelle apparaissent deux ensembles d’éléments : • Un ensemble X d’actions potentielles, réalisables, accessibles au décideur. Nous supposons que X est de cardinal fini. X = {x 1, x 2, x 3,…, x n} : ensemble de n actions. Dans cette étude, les trois filières biologiques de traitement des rejets urbains : filière à lit bactérien, filière à boues activées à moyenne charge, filière à boues activées en aération prolongée constituent les actions. Donc, X = {x 1, x 2, x 3} : ensemble de trois filières. • Un ensemble K de critères qui permettent au décideur de traduire ses préférences. Nous supposons que K est de cardinal fini. K = {f 1 ,f 2 , f 3,…, f k} : ensemble de k critères 25 La surface occupée par tout système d’épuration, son rendement, ses possibilités d’extension, ses besoins en matières consommables, ses besoins en personnel, son implantation, les bruits des moteurs utilisés, le respect de l’environnement se trouvant autour et la possibilité de traitement de boues constituent les critères dans cette étude. Donc, K = {f 1 ,, f 2 , f 3 , f4 , f 5 ,f 6 , f 7 , f 8 , f 9} : ensemble de 9 critères L’ensemble K des k critères fait correspondre un ensemble de k valeurs de pondérations Pfh. Tableau 3 – Poids relatif de différents critères K f1 f2 f3 … fk Pfh Pf1 Pf2 Pf3 …Pfk L’élément Pfh de valeurs de pondérations exprime l’importance attachée par le décideur au critère fh et est tel que : ∀ Pfh , Pfh > 0 et Pf1 + Pf2 + Pf3 +… + Pfk = ∑= k h 1 Pfh = 1 Le décideur peut donner la même valeur de pondération à deux critères différents. Les valeurs de pondération ou poids sont données arbitrairement selon l’importance des critères. Dans cette étude, les pondérations Pfh , h allant de 1 à 9, associés aux neuf critères sont données dans le tableau 10. En face de chaque critère retenu, nous donnons une note aux différentes actions pour former la matrice d’évaluation que nous allons voir dans le paragraphe suivant.

Etablissement de la matrice d’évaluation

Dans cette méthode, nous cherchons un domaine de résolution pouvant tenir compte de l’ensemble des critères susceptibles d’influencer la décision. f h est une fonction qui détermine chaque critère en attribuant une évaluation à chacun d’eux. f h : X R xi f h(xi) ; xi ∈ X, f h(xi) est l’évaluation du critère f h dans le choix de l’action xi. R représente l’ensemble de nombres réels. A chaque action de X pour chaque critère de K, il est possible de déterminer f h (xi) et d’estimer la matrice d’évaluation de dimension k x n. 26 Tableau 4 – Matrice d’évaluation K X x 1 x 2 ….. x i ….. x n f1 f2 . . . fk f1(x 1) f1(x2) ….. f1(xi) …. f1(xn) f2(x1) f2(x2) ….. f2(xi) …. f2(xn) . . ….. . ….. . . . ….. . ….. . . . …… . ….. . f k(x1) f k(x2) …… f k(xi) …. f k(x n) La hième ligne de la matrice représente les évaluations du critère f h pour toutes les actions xi, i allant de 1 à n ; et la iième colonne correspond aux évaluations des critères f j pour l’action xi donnée, j allant de 1 à k. Dans cette étude, k = 9, n = 3 donc on a une matrice à 27 éléments se trouvant dans le tableau 12. A chaque couple d’actions (xi, xj ), i allant de 1 à n et j allant de 1 à n, est attaché un indice de concordance ou de discordance que nous allons définir dans le paragraphe suivant. 3.3 indice de concordance et de discordance 3.3.1 indice de concordance c (xi,xj) La concordance exprime la mesure dans laquelle l’hypothèse de surclassement «une filière est meilleure qu’une autre ou une filière surclasse une autre » est vraie. Dans ce paragraphe, le but est d’établir l’indice de concordance. D’abord, pour tous les couples (xi, xj) de X*X, nous pouvons considérer les ensembles K+ , K- , K= définis comme suit : • l’ensemble qui regroupe les critères favorables à xi noté K+ (xi,xj) = {fh / fh(xi) > fh(xj)}, h allant de 1 à k; • l’ensemble qui regroupe les critères favorables à xj noté K- (xi,xj) = {fh/ fh(xi) < fh(xj)}, h allant de 1 à k; et • l’ensemble qui regroupe les critères dont les évaluations pour les actions xi et xj sont vues de façon équivalente , noté K= (xi,xj) = {fh/ fh(xi) = fh(xj)}, h allant de 1 à k . De ces définitions résultent les relations suivantes : K+ (xi,xj)UK- (xi,xj)UK= (xi,xj) = K U : union K+ (xi,xj) = K- (xj,xi) K= (xi,xj) = K= (xj,xi) 27 Les ensembles K+ , K= et K- associés à tous couples d’actions possibles permettent de déterminer les valeurs P+ (xi,xj), P= (xi,xj), P- (xi,xj) permettant de mesurer l’importance de K+ (xi,xj), K= (xi,xj) et K- (xi,xj). Nous allons définir ces valeurs. Pour tous les critères appartenant à K+ (xi,xj), nous notons P+ (xi,xj) la somme des pondérations de ces critères : P+ (xi,xj) = Wf1 Pf1 + Wf2 Pf2 + Wf3 Pf3 +…+ Wfk Pfk =∑= k h 1 Wfh Pfh où Wfh = 0 si fh ∉ K+ (xi,xj) ={fh / fh(xi) > fh(xj)} Wfh = 1 si fh ∈ K+ (xi,xj) ={fh / fh(xi) > fh(xj)} Les nombres (Wfh), h allant de 1 à k, s’appellent coefficients. De même, nous notons P= (xi,xj) = Wf1 Pf1 + Wf2 Pf2 + Wf3 Pf3 +…+ Wfk Pfk =∑= k h 1 Wfh Pfh où Wfh = 0 si fh ∉ K= (xi,xj) = {fh / fh(xi) = fh(xj)} Wfh = 1 si fh ∈ K= (xi,xj) = {fh / fh(xi) = fh(xj)} Enfin, nous notons P- (xi,xj) = Wf1 Pf1 + Wf2 Pf2 + Wf3 Pf3 +…+ Wfk Pfk =∑= k h 1 Wfh Pfh où Wfh = 0 si fh ∉ K- (xi,xj) ={fh / fh(xi) < fh(xj)} Wfh = 1 si fh ∈ K- (xi,xj) = {fh / fh(xi) < fh(xj)} De ces définitions ci-dessus résultent les relations suivantes : P+ (xi,xj) + P- (xi,xj) + P= (xi,xj) = 1 P+ (xi,xj) = P- (xj,xi) P= (xi,xj) = P= (xj,xi) A partir des valeurs P+ (xi,xj), P= (xi,xj), P- (xi,xj), nous pouvons établir l’indice de concordance noté c (xi,xj). Cet indice est défini par une forme additive ou une forme multiplicative : • la forme additive : c1(x i, x j) = P+ (x i, x j) + P= (x i,x j) ; cet indice varie de 0 à 1 .Il vaut 1 s’il n’y a pas de critères favorables à xj et 0 si tous les critères sont favorables à xj. Quand nous comparons deux à deux les actions possibles de X, l’ensemble des indices de concordance de version additive forme la matrice des indices de concordance de version additive.