Caractérisation de la forme tridimensionnelle complexe des particules

La caractérisation de la forme tridimensionnelle complexe des particules intermétalliques Alx(Fe,Mn) contenues dans les alliages d’aluminium de type 5182 présente pour l’analyse des propriétés physiques du matériau …nal un grand intérêt. En e¤et, au cours des études réalisées à l’ École des Mines de Saint-Étienne ainsi qu’au CRV ALCAN en amont de ce travail [5] [28], il a été montré que la forme des particules et leur aptitude à la rupture conditionnent la formabilité de l’alliage ainsi que son aspect de surface. La caractérisation de la forme d’objets est une thématique très souvent abordée en analyse d’images. De nombreux ouvrages traitent le sujet de la caractérisation de formes bidimensionnelles simples à complexes comme le livre de M.Coster et J.L.Chermant au chapitre 9 [18], ou encore celui de L. da Fontoura Costa and R.C.Jr.Marcondes [22] entièrement dédié à ce sujet, et qui tente d’établir les méthodes applicables dans le cas de l’analyse tridimensionnelle de forme. Les particules intermétalliques étudiées sont de forme tridimensionnelle complexe. Dans ce chapitre, nous utilisons plusieurs approches pour les caractériser. Les deux premières dérivent directement des méthodes d’analyse de formes simples et complexes bidimensionnelles de la littérature, adaptées à la nature tridimensionnelle de l’information. La troisième est une approche originale. Tout d’abord une approche paramétrique de la forme est appliquée. Celleci permet d’obtenir un paramètre spéci…que pour chaque mesure e¤ectuée. Ensuite nous avons utilisé une approche spectrale, chaque particule étant caractérisée par un spectre de mesures. En…n, nous proposons une approche originale basée sur l’ensemble de l’information de courbure à la surface des 79 Caractérisation de la forme tridimensionnelle complexe des particules Chapitre 5. Caractérisation de la forme tridimensionnelle complexe des particules particules intermétalliques. Les di¤érentes approches sont illustrées sur quelques formes typiques extraites de la base de données des particules de la phase au fer sur les échantillons de AA5182. Les deux premières approches de caractérisation de la forme ont été présentées dans des articles de colloques : [71] [76] [75] [73] [74]. 

Caractérisation paramétrique 

L’originalité de l’approche paramétrique présentée ici consiste dans la sélection des paramètres morphologiques utilisés [84] [18] [83]. Nous nous sommes en e¤et polarisés sur des mesures possédant une interprétation et un sens physique. Nous présentons dans cette section les paramètres que nous avons mis en oeuvre et dont l’étude nous a semblé pertinente en vue de la compréhension des propriétés mécaniques de rupture des particules. 

Les paramètres de base

 Ils sont représentés par la mesure du volume et de la surface, ainsi que par les paramètres combinant les deux informations. Ils caractérisent les objets, et sont facilement mesurables en analyse d’images. Le volume Le volume V est calculé en comptant les voxels qui constituent l’objet tridimensionnel étudié. La surface La surface S est mesurée à partir de la méthode stéréologique de Crofton [19] [82]. Cette méthode estime la surface à partir de la mesure des aires projetées Ap de l’objet tridimensionnel sur des plans bidimensionnels d’orientation variée. La surface correspond à un facteur 4 à la moyenne des aires Ap mesurées (équation 5.1). S = 4 hApi (5.1) .Les indices de formes Ils comparent la forme étudiée à une forme de référence [85]. Ils sont très sensibles au bruit présent à la surface de l’objet. L’indice de sphéricité Il est dé…ni par l’équation 5.2. Il compare la forme de l’objet à celle d’une sphère. Si la forme de l’objet est proche de celle de la sphère alors il est égal à 1. Is = 36 V 2 S3 (5.2) 

Les paramètres basés sur la notion de distance géodésique

 Les paramètres présentés dans cette section sont basés sur la notion de distance géodésique [50] [51]. Cette distance est une métrique au sens dé…ni au chapitre 4 section 1. Elle est particulièrement intéressante pour appréhender les formes tridimensionnelles complexes. Nous rappelons tout d’abord la dé…nition de la distance géodésique puis présentons des mesures morphologiques basées sur cette notion : la fonction de propagation géodésique, la longueur géodésique, le centre géodésique, l’indice d’élongation, et en…n le rayon maximal calculé à partir de la fonction distance. La distance géodésique Soit un ensemble X (…gure 5.1), et 4 points x1; x2; x3 et x4 appartenant à cet ensemble. Un arc géodésique d’extrémité x1 et x2 véri…e les conditions suivantes : – il est totalement inclus dans X, – il correspond au plus court chemin reliant x1 à x2. La distance géodésique entre 2 points x et y appartenant à X notée dX(x1; x2) correspond au chemin le plus court C = (x1;x2;x3; :::; xn) reliant x à y et inclus dans X (équation 5.3). Sur la …gure 5.1, la distance dX(xi ; x4) avec i variant de 1 à 3 ne remplit pas la première condition ; en e¤et xi et x4 appartiennent à deux parties disjointes de X. Par convention cette distance est égale à l’in…ni. dX(x; y) = min fL (C)jx1 = x; x2 = y et C  Xg (5.3) 81 Chapitre 5. Caractérisation de la forme tridimensionnelle complexe des particules Fig. 5.1: Dé…nition d’un arc géodésique dans une forme X, entre les points x1; x2; x3 et x4 La fonction de propagation géodésique La fonction de propagation géodésique est dé…nie en terme de distance géodésique. Elle permet de déterminer des paramètres de forme pour les objets. Elle correspond pour un point donné x appartenant à un ensemble X simplement connexe, c’est à dire sans trou et d’un seul tenant, à la longueur maximale des arcs géodésiques dont l’une des extrémités est x. La fonction de propagation géodésique s’exprime à partir de l’équation 5.4. 8x 2 X; PX (x) = max fdX (x; y)jy 2 Xg (5.4) La longueur géodésique La longueur géodésique d’un ensemble X simplement connexe est dé…nie par l’équation 5.5. Elle correspond à la valeur maximale prise par la fonction de propagation géodésique. Cette mesure est sensible à la présence de bruit à la surface de l’objet étudié. 8x 2 X; Lg (X) = max fPX (x)g (5.5) Le centre géodésique Le centre géodésique d’un ensemble X simplement connexe est dé…ni comme le minimum régional de sa fonction de propagation géodésique. Par dé…nition le centre géodésique appartient toujours à X. Il est invariant à la présence de bruit sur la frontière de l’ensemble. La valeur de la fonction de propagation au centre géodésique correspond au rayon géodésique noté Rg(X). L’indice d’élongation géodésique L’indice d’élongation géodésique tridimensionnel IGg est un nouvel indice développé au cours de la thèse. Il correspond à une extension 3D de l’indice d’allongement géodésique bidimensionnel d’équation 5.6 proposé par C.Lantuejoul et F.Maisonneuve [51]. Il caractérise l’élongation de l’objet X étudié. L’indice d’élongation géodésique tridimensionnel IGg est dé…ni par l’équation 5.7. Dans le cas de l’étude d’une sphère, IGg est égal à 1. En e¤et, la sphère représente l’objet le plus compact que l’on puisse dé…nir. L’indice d’élongation augmente avec l’allongement de l’objet. Il correspond par exemple pour un segment à sa longueur. Contrairement aux autres indices de forme présentés à la section précédente, il est insensible au bruit présent à la surface de l’ensemble étudié. dans le cas 2D : IGg (X) =  [Lg (X)]2 4A(X) (5.6) dans le cas 3D : IGg (X) =  [Lg (X)]3 6V (X) (5.7) Le rayon maximal Le rayon maximal Rmax, est un paramètre original. Il correspond au minimum absolu des maxima régionaux de la fonction distance dé…nie au sens géodésique (chapitre 4 section 1). Il correspond à la plus grande boule incluse dans la forme qui peut être translatée dans l’ensemble de son enveloppe interne, et centrée sur son pseudo-squelette géodésique. Il est normalisé pour correspondre à un indice de forme qui compare le volume de l’objet à celui de la boule incluse de rayon Rmax (équation 5.8). Rnorm(X) = 4 3  R3 max(X) V (X) (5.8) Mise en oeuvre Les paramètres basés sur la distance géodésique ont été implémentés sur le logiciel Aphelion c . Ils ont été validés sur des formes simples pour lesquelles les mesures théoriques ont été calculées algébriquement : sphères, parallélépipèdes, union de sphères, union de sphères et de parallélépipèdes.