Caractérisation thermomecanique en fatigue bibliographie et outils adoptés

Mesure des termes sources

Équation de la chaleur

Pour pouvoir comprendre l’origine des variations thermiques lors d’un essai mécanique il est indispensable de résoudre l’équation de la chaleur. Celle-ci permet de relier la variation de température lors d’un essai mécanique à des quantités plus intrinsèques du matériau. Celles-ci sont appelées termes sources. Cette section est consacrée, tout d’abord, à la présentation du cadre thermodynamique (à partir de la mécanique des milieux continus) permettant la mise en place de l’équation. Ensuite, les caractéristiques et les hypothèses adoptées pour sa résolution seront présentées. Finalement, deux méthodes de résolution seront décrites.

Cadre thermodynamique 

Le cadre thermodynamique utilisé est celui présenté dans les travaux de Lemaitre et Chaboche [69]. L’état thermodynamique d’un élément volumique est défini pour chaque instant t par la connaissance des valeurs d’un certain nombre de variables, appelées variables d’état, lesquelles ne dépendent que du point considéré. Toute évolution du système peut être considérée comme une succession d’états d’équilibre. Les variables d’état utilisées classiquement dans le cadre de la mécanique des milieux continus sont : • T , la température ; • ε, le tenseur des déformations totales (somme des tenseurs des déformations réversibles et irréversibles) ; • Vk, ensemble des variables internes, lesquelles sont choisies conformément aux mécanismes physiques supposés dans le matériau considéré pour compléter la description de l’état thermodynamique. Ces variables permettent de décrire un système thermodynamique uniquement lorsque la conservation de l’énergie (1er principe de la thermodynamique) et l’inégalité de Clausius-Duhem (2ème principe de la thermodynamique) sont respectées à chaque instant. Il faut donc présenter ces deux principes pour pouvoir déduire l’équation de la chaleur. Il faut remarquer que, dans le cadre de cette thèse, nous ne considérons que le cas des petites perturbations.

Simplification de l’équation de la chaleur et champ de température

 Nous souhaitons obtenir la contribution due à la dissipation intrinsèque à partir des variations de température lors d’essais d’auto-échauffement. Un essai d’auto-échauffement consiste à appliquer une séquence de blocs de chargements cycliques à une éprouvette ou structure et à observer l’évolution de la température de l’échantillon durant chaque bloc de chargement. Dans le cadre de ces essais, des hypothèses simplificatrices peuvent être réalisées [55] [32] : • C et ρ sont indépendantes de la température ; • la convection interne est négligeable (i.e., dT dt = ∂T ∂t ) ; • la source volumique de chaleur à distance r est indépendante du temps ; • le seul terme de couplage non négligé est le couplage thermoélastique µ ρT ∂ 2Ψ ∂ε∂T : ε˙ ¶ . Ces hypothèses reposent, entre autres, sur le fait que les variations de température lors des essais d’auto-échauffement sont suffisamment faibles. L’ordre de variation de la température change selon la méthode adoptée pour l’obtention de la dissipation intrinsèque. Ces ordres de variation seront précisés par la suite. Dans le cadre de cette thèse, les mesures thermiques seront réalisées avec une caméra infrarouge. Le principe de fonctionnement d’un tel instrument sera présenté dans le chapitre 3. Une caméra infrarouge donne accès aux champs de température surfaciques. Différentes hypothèses peuvent être effectuées sur l’homogénéité du champ de température. Nous parlons alors d’approche 0D, 1D ou 2D (cf. Fig.2.2) : • l’approche 0D considère uniquement la température moyennée dans le volume étudié (le champ de température est une fonction qui ne dépend que du temps), l’ensemble des pertes sont dues aux échanges avec l’extérieur. Par exemple, lors d’un essai de fatigue de traction uniaxiale sur une éprouvette, les échanges peuvent être décomposés en deux contributions. La première correspond aux pertes par les mors de la machine d’essai. La deuxième concerne les pertes sur la surface latérale par échange avec le milieu ambiant ; • l’approche 1D considère la température moyennée sur la section de l’échantillon (le champ de température est une fonction d’une dimension spatiale et du temps). Des pertes par conduction au sein de la matière sont alors prises en compte suivant l’axe x, en plus des pertes sur les faces latérales par échange avec le milieu ambiant suivant y et z ; • l’approche 2D considère la température moyennée suivant l’épaisseur (direction z sur la figure 2.2). Le champ de température est une fonction de deux dimensions spatiales et du temps. Les pertes s’effectuent par conduction suivant x et y au sein de la matière et par échange avec le milieu ambiant sur les faces latérales suivant z.

Obtention des termes sources sur un état stationnaire Cas 0D 

Cette première méthode est largement utilisée dans le cadre des essais d’auto-échauffement sur les matériaux métalliques, par exemple, dans les travaux de Doudard [32], Munier [89], Boulanger et al. [18], etc. La méthode est aussi utilisée dans le cadre des essais d’auto-échauffement sur les matériaux élastomères, par exemple dans les travaux de Le Saux [68] et aussi pour les thermoplastiques renforcées de fibre de verre courtes, par exemple dans les travaux de Jegou [55]. Nous considérons une éprouvette à section utile parallélépipédique soumise à des sollicitations cycliques uniaxiales, telle qu’illustrée dans la figure 2.3a (le chargement est dans la direction x). La figure 2.3b montre l’allure de la variation de température lors d’un chargement cyclique sur une éprouvette en acier, la ligne pointillée correspond à θst a, la partie oscillatoire de la courbe est associée au couplage thermoélastique, c’est pourquoi il faut prendre la valeur moyenne du régime stationnaire de la courbe. θst a provient d’une mesure surfacique, mais lorsque le système est stationnaire celle-ci est représentative du volume étudié. Dans la pratique il est difficile d’évaluer τeq à partir des coefficients de convection thermique, il est préférable d’utiliser la cinétique de refroidissement, c’est-à-dire, que si nous arrêtons un essai cyclique étant déjà arrivé au comportement stationnaire nous pouvons dire que θ˜ 0d = θst a à t = 0 et que ∆ ∗ = 0.

Obtention des termes sources sur un état transitoire 

Une autre possibilité pour obtenir les termes sources à partir de l’évolution de la température lors de chargements cycliques consiste à se baser sur la mesure de la vitesse initiale de la variation de température. En effet, si celle-ci peut être mesurée sur un temps très court par rapport au temps caractéristique thermique et si la conductivité du matériau est suffisamment faible, les pertes associées à la conduction et à la diffusion thermique peuvent être négligées. C’est-à-dire, le terme λ∆θ. Cas 0D Si nous reprenons l’exemple de la figure 2.3a et nous supposons que la camera infrarouge mesure le champ de température sur une des faces parallèles au plan ¡ x, y ¢ .

Cas 2D

L’approche 2D est une extension de l’approche 0D, la seule différence porte sur le fait que l’on mesure le champ surfacique de vitesse initiale de variation de température au lieu de mesurer la vitesse initiale de variation de la température moyennée sur une surface. Cette approche est particulièrement intéressante dans le cas où le terme source est hétérogène sur la surface considérée. La résolution spatiale du champ évoqué sera fixée par les paramètres physiques du matériau et le temps d’analyse considéré. La figure 2.5 montre l’évolution du champ d’énergie dissipée obtenu sur une éprouvette entaillée, le matériau est un PA66GF35.