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Étude théorique de la transformation triopole
Introduction
En 1838 Augustin Cournot élabore un modèle de base de la théorie d’oligopole ; une des principales branches de l’économie mathématique.Si le nombres de deman-deurs (clients) est élevé et le nombre d’offreurs (vendeurs) est très faible sur un mar-ché on dit qu’on est dans une situation d’oligopole, dans ce cas il n y a plus de conflits entre offreurs tant que la demande est plus importante que l’offre.
Avec la croissance du rendement, les producteurs tendent naturellement a réali-ser des économies d’échelle. Ce système tend vers une situation d’équilibre mono-polique ; et avec des institutions qui protègent le consommateur cet équilibre tendra vers une situation d’oligopole.
La situation la plus simple d’oligopole est le cas de deux producteurs (duopole) qu’on appelle le modèle de Cournot-Nash. La théorie d’oligopole connait des déve-loppements considérables sur le plan théorique et plus récemment, sur le plan em-pirique.
A la fin du premier chapitre nous avons présenté les propriétés du système bidi-mensionnelle de type duopole qui est un type spécifique d’oligopole où seulement deux producteurs existent sur un marché ; c’est la forme la plus communément étu-diée d’oligopole en raison de sa simplicité.
En se reportant à ces propriétés, nous traitons également dans ce chapitre le même système en dimension trois (triopole). Il s’agit d’une généralisation de l’étude présentées dans [1, 5]. Ce travail est décrit dans [12].
Nous nous intéressons à mettre en évidence les différentes propriétés de la trans-formation tridimensionnelle. Nous avons consacré un paragraphe à l’étude des points fixes et des cycles, leurs natures, le nombre éventuellement de cycles et leurs stabi-lités. Nous terminons par une étude détaillée sur les plans invariants et les variétés critiques.
Étude des points fixes et des cycles
Nous étudions dans un premier temps les points fixes, les cycles et leurs stabilités. Nous avons pu voir via les propriétés précédentes que les cycles de T sont liés aux cycles de F, G et H.
Nous pouvons énoncer ces deux propositions :
Proposition 2.1. Un point fixe (A0, B0, C0) de T est obtenu à partir de A0 : point fixe de F, B0 : point fixe de G et C0 : point fixe de H respectivement.
Proposition 2.2. Un cycle d’ordre n est constitué de points fixes de la transformation Tn .
1. Si l’ordre du cycle est n ˘ 3k ¯1, on a trois cas :
• les abscisses x du cycle de T sont les points d’un cycle de F de même ordre.
• les ordonnées y du cycle de T sont les points d’un cycle de G de même ordre.
• les coordonnées spatiales z du cycle de T sont des points d’un cycle de H de même ordre.
2. Si l’ordre du cycle est n ˘ 3k ¯2, alors on a trois cas :
• les abscisses x du cycle de T sont les points d’un cycle de F de même ordre.
• les ordonnées y du cycle de T sont les points d’un cycle de G de même ordre.
• les coordonnées spatiales z du cycle de T sont des points d’un cycle de H de même ordre.
3. Si l’ordre du cycle est n ˘ 3k : les abscisses x, les ordonnées y et les coordonnées spatiales z de ce cycle sont en même temps les points d’un cycle d’ordre k de F, G et H respectivement.
Caractéristiques des cycles
Le problème qui se pose maintenant est relative au nombre de cycles pour T lorsque F possède un cycle d’ordre n.
Proposition 2.3. Soit {x1, x2, . . . , xn } un cycle d’ordre n ˘ 3k ¯ 1,n ˘ 3k ¯ 2 de F alors T admet un cycle d’ordre n et ( n23¡1 ) cycles d’ordre 3n.
Démonstration. la première partie de la proposition résulte de la propriété (2.6).
Proposition 2.4. Soit {x1, x2, . . . , xn } un cycle d’ordre n ˘ 3k, (n ‚ 1) de F alors : T admet n32 cycles d’ordre 3n.
Remarque. L’importance de cette proposition tient au fait que l’on est capable de connaitre l’architecture des cycles de T.
Proposition 2.5. Un cycle C de l’application tridimensionnelle T est stable si et seule-ment si les trois cycles de F, G et H, pour lesquels les points périodiques de C sont obtenues, sont les trois stables.
Proposition 2.6. Si F admet un cycle stable de période n ¨ 2 alors la transformation tridimensionnelle T est caractérisée par le phénomène de multistabilité (la coexis-tence de plusieurs attracteurs).
Démonstration. Une démonstration possible de cette proposition découle du théo-rème 🙁 cycle trois implique chaos ).
Étude de l’espace d’état
Dans cette section , nous étudions l’espace R3 de la transformation T. Les plans invariants associés aux cycles de type col, enfin, nous déterminons les variétés cri-tiques.
Plans invariants
Proposition 2.7. Tout cycle de type col admet des plans invariants qui sont parallèles aux axes des coordonnées.
Proposition 2.8. Soit T une transformation de type (2.1). Alors :
1. L’image par T d’un plan d’équation y ˘ u est un plan d’équation x ˘ f (u).
2. L’image par T d’un plan d’équation x ˘ v est un plan d’équation z ˘ h(v).
3. L’image par T d’un plan d’équation z ˘ w est un plan d’équation y ˘ g (w).
Démonstration. Il résulte immédiatement de la définition de la transformation T.
1. Soit le plan U d’équation y ˘ u, u est une constante. Alors T(u) appartient au plan d’équation x ˘ f (u).
2. Si V est le plan d’équation x ˘ v, v est une constante. Alors T(v) appartient au plan d’équation z ˘ f (u).
3. Si W est le plan d’équation z ˘ w, w est une constante. Alors T(w) appartient au plan d’équation y ˘ g (w).
Proposition 2.9. Pour tout point périodique p(x1, y1, z1) de la transformation T de période n ‚ 1 ,les plans x ˘ x1, y ˘ y1 et z ˘ z1 qui résultent de p, sont des ensembles absorbants de l’application Tn .
Conclusion.
Dans ce chapitre, nous avons présenté la théorie d’un triopole. Nous avons étudié les propriétés de la transformation tridimensionnelle associée. Nous avons présenté des propositions concernant l’étude des points fixes et des cycles, leurs natures, le nombre de cycles possibles et leurs stabilité. A la fin du chapitre, nous avons déter-miné les plans invariants et les variétés critiques. Ce chapitre est un travail prélimi-naire qui nous sera utile pour le chapitre trois.
Il reste beaucoup à dire sur cette transformation tridimensionnelle et ses proprié-tés. Le nombre des cycles mérite une étude complète. Des propriétés et des proposi-tions existent, concernant l’étude des bassins d’attraction dans l’espace de phase et leur évolution.
Chaos et bifurcations dans une transformation tridimensionnelle
Introduction
Ce chapitre concerne les bifurcations spécifiques aux transformations tridimen-sionnelles. Cette étude se trouve dans [12].
Rappelons les bifurcations liées aux attracteurs chaotiques, les variétés critiques et les bassins d’attractions pour le system (3.1) sont les suivantes :
1. Bassin connexeˆ!bassin multiplement connexe.
2. Bassin non connexe ˆ! Bassin connexe
3. Bifurcation de contact (aboutissant à la disparition d’un attracteur).
4. Fractalisation de la frontière du bassin.
5. Courbe invariante fermée (CIF) ˆ! attracteur chaotique faible (AFC) : trans-formation d’une courbe invariante fermée en attracteur faiblement chaotique.
6. Bifurcations de contact de la zone chaotique.
Étude du plan paramétrique
La figure (3.1) représente le diagramme de bifurcation de la transformation T1 dans le plan paramétrique (a1, a3). Le code des couleurs permet de donner les pé-riodes des différentes zones d’existence et de stabilité, des cycles d’ordre k avec (k • 14). Les zones de couleur noire, correspondent à l’existence des cycles d’ordre k ‚ 15 ou à la présence des attracteurs chaotiques. Les zones de couleur blanche corres-pondent à non existence d’attracteurs dans le plan de phases.
Nous constatons l’existence de point fixe attractif qui bifurque en donnant nais-sance aux cycles d’ordre 2, 4 dans le troisième quadrant. Nous avons également l’exis-tence du cycle d’ordre 3 qui donne naissance aux cycles d’ordre 6 avec existence de zones de communication de type échangeur.
Bifurcation de la courbe invariante
Dans cette section ; nous présentons les changements qualitatifs intervenant sur une courbe invariante fermée. Nous allons caractériser une bifurcation spécifique aux transformations tridimensionnelles.
Afin d’avoir une vue globale sur le comportement du système T1⁄ dans le plan pa-ramétrique (a,b), nous présentons le balayage de bifurcation dans la figure (3.3) avec les paramètres a et b variant dans l’intervalle [¡4, 4]. Ce balayage donne les domaines de stabilité et d’existence des cycles attractifs d’ordres allant de 1 à 14.
Conclusion
Ce chapitre regroupe différents résultats concernant l’étude d’une transforma-tion tridimensionnelle non inversible.
Ce chapitre comporte deux parties de volumes très inégales. La première concerne la détermination des variétés critiques, les différents balayages dans des plans para-métriques différents pour garantir l’existence numérique d’attracteurs. La seconde partie est consacrée à la description d’une bifurcation spécifique aux transforma-tions tridimensionnelles.
Table des matières
Introduction générale
1 Généralités Sur les Transformations Ponctuelles
1.1 Introduction
1.2 Singularités
1.3 Multiplicateurs et nature des singularités
1.4 Bifurcations fondamentales
1.4.1 Bifurcation Fold ou Noeud-col
1.4.2 Bifurcation Flip ou doublement de période
1.4.3 Bifurcation de Neimark ou Hopf
1.5 Structure de bifurcation boites-emboitées
1.6 Définitions et propriétés
1.6.1 Ensemble absorbant
1.6.2 Ensemble invariant
1.6.3 Ensemble attractant
1.6.4 Bassin d’attraction
1.6.5 Courbes invariantes
1.6.6 Lignes critiques
1.6.7 Chaos
1.6.8 Attracteur et attracteur chaotique
1.6.9 La conjugaison topologique
1.7 Rappels sur les transformations symétriquement découplées
1.7.1 Transformation symétriquement découplée
1.7.2 Duopole ou la théorie des jeux
2 Étude théorique de la transformation triopole
2.1 Introduction
2.2 Définition et propriétés du système
2.3 Étude des points fixes et des cycles
2.4 Points fixes et cycles spécifiques
2.4.1 La nature des p-points fixes de T
2.4.2 La nature des 3-cycles de T
2.4.3 Caractéristiques des cycles
2.5 Étude de l’espace d’état
2.5.1 Plans invariants
2.5.2 Variétés critiques
2.6 Conclusion
3 Chaos et bifurcations dans une transformation tridimensionnelle
3.1 Introduction
3.2 Étude de la transformation T avec b=1
3.2.1 Étude du plan paramétrique
3.2.2 Les variétés critiques
3.2.3 Étude théorique de la transformation T1 avec a1 Æ a2 Æ a3 Æ a
3.3 Bifurcation de la courbe invariante
3.4 Conclusion
4 Étude qualitative d’une transformation tridimensionnelle
4.1 Introduction
4.2 Lemodèle dynamique
4.2.1 Conjugaisons topologiques et propositions
4.3 Étude du système sur la ligne invariante
4.4 Étude du système dans le plan invariant
4.4.1 Les courbes critiques
4.4.2 Attracteurs et Bifurcations
4.5 Étude du système dans l’espace tridimensionnel
4.5.1 Étude de points fixes
4.5.2 Attracteurs et multistabilité
4.6 Conclusion
Conclusion générale
Bibliographie
