Cours comportement thermo-élastique linéaire isotrope, tutoriel & guide de travaux pratiques en pdf.

Comportement thermo-élastique linéaire isotrope : équations constitutives

Dans ce paragraphe, on cherche à déterminer des conditions suffisantes, voire nécessaires et suffisantes, à la vérification systématique de l’inégalité de Clausius-Duhem, c’est-à-dire, en un quelconque point d’un matériau thermo-élastique linéaire isotrope : quel que soit l’état, caractérisé par T et e ; quelle que soit l’évolution, caractérisée par _T et _e ; quel que soit le gradient de température gradT, soit, d’après Eq. (1-24) :
sachant que le potentiel d’état d’énergie libre massique y et la fonction d’état d’entropie massique s, par définition, ne dépendent que des variables d’état. On formule également les deux hypothèses suivantes qui, en première approximation et pour la plupart des matériaux usuels, sont en accord avec les résultats expérimentaux :
– les contraintes ne dépendent ni de gradT, ni de _e, ni de _T ,
– la densité de flux de chaleur ne dépend ni de _e, ni de _T .
L’inégalité Eq. (1-25) devant être en particulier vérifiée quand _e = 0 et gradT = 0, et s ne dépendant que de T et e, il apparaît alors qu’une première condition nécessaire et suffisante à la
vérification systématique de l’inégalité de Clausius-Duhem est :
Compte tenu de Eq. (1-27), et sachant que l’on a supposé que ni q, ni s ne dépendent de _T , Eq. (1-25) se réduit .
L’équation Eq. (1-33) est connue sous le nom de loi de Fourier. Les équations Eq. (1-27) (scalaire), Eq. (1-30) (tensorielle) et Eq. (1-33) (vectorielle) sont dites constitutives du modèle de comportement thermo-élastique linéaire isotrope. Les deux premières de ces équations font intervenir le potentiel d’état d’énergie libre massique y, lequel reste à définir pour que les équations constitutives le soient entièrement. On démontre que, l’état d’énergie libre massique – c’est-à-dire la valeur, pour un état (T;e) donné, de la fonction y – devant être indépendant de la base dans laquelle les composantes de e sont exprimées, la fonction y est nécessairement une fonction mathématiquement isotrope de e. Autrement dit, y ne dépend que de T et des trois invariants fondamentaux de e, soit : Tr (e) ; Tr ((e:e)) ; Tr ((e:e:e)).
stipule notamment que s dépend linéairement de T et de e. À strictement parler, cette exigence de linéarité est en fait incompatible avec l’expression Eq. (1-31) du tenseur des contraintes, au sens qu’il n’existe aucun potentiel d’état d’énergie libre y tel que la relation entre s, T et e obtenue à partir de Eq. (1-31) soit linéaire en e. Ce problème est résolu moyennant l’approximation que la masse volumique est constante.

Principaux résultats du paragraphe 1.2.3

Compte tenu de l’approximation r ¼ r0, les équations constitutives du modèle de comportement thermoélastique linéaire isotrope, à vérifier en tout point et à tout instant.
Énoncé mathématique d’un problème de structure homogène en thermoélasticité linéaire isotrope
La notion d’homogénéité a déjà été évoquée pour établir la solution particulière (et uniforme), Eq. (1-16), de l’équation de conservation de la masse. Elle est relative à la structure considérée. Une structure est dite homogène si elle est constituée d’un seul matériau, c’est-à-dire si les paramètres-matériau ont la même valeur en tout point de cette structure. Dans toute la suite de ce cours, les structures seront supposées homogènes.
– Restriction du nombre de champs inconnus et du nombre d’équations de champs Comme on l’a déjà signalé au paragraphe 1.2.2, le nombre de champs scalaires inconnus dans un problème de structure thermo-élastique linéaire isotrope est de 27. Il est égal au nombre d’équations de champs,
compte tenu des équations constitutives du comportement thermo-élastique linéaire isotrope tablies au paragraphe 1.2.3.
Une approximation a cependant dû être retenue au paragraphe 1.2.3, voir notamment Eq. (1-35), afin d’obtenir l’expression Eq. (1-39) du tenseur des contraintes de Cauchy et l’expression Eq. (1-41) de l’équation de la chaleur. Cette approximation est que le champ de masse volumique est constant, c’est-à-dire, 8t 2 [t0; t1], égal au champ de masse volumique initiale. Comme on l’a ouligné au paragraphe 1.2.3, cette approximation n’est pas complètement satisfaisante d’un point de vue thermodynamique (elle mène à une dissipation intrinsèque non nulle, voire négative). Malgré cela, cette approximation est très souvent retenue par un ingénieur devant résoudre un problème de structure thermo-élastique linéaire isotrope. Si la structure est homogène, c’est-à-dire constituée d’un seul matériau thermo-élastique linéaire isotrope, un ingénieur retient même l’hypothèse Eq. (1-16) que le champ de masse volumique est uniforme.