Conception en rigidité

Les figures suivantes montrent l’allure qualitative des lignes de niveau des modules de l’ingénieur en membrane.On choisit alors un matériau de base pour lequel le domaine admissible, défini par les conditions ci-dessus, soit contenu dans Ω. On connaît donc la région de Ω à laquelle le point de stratification doit appartenir. Par les courbes de niveau de Ex m, on reconnaît que le point d’optimum est alors le point P en figure (si U3>0, k=0). On connaît maintenant les paramètres de stratification de la solution et pour déterminer les orientations on procède comme vue auparavant. Calculons d’abord les paramètres de Tsai et Pagano (ou les paramètres polaires) de la couche de base: on obtient (formules des pages 156 et 393)Le domaine admissible est représenté en figure. Alors, en se rappelant de l’allure des courbes de niveau de Ex m, o obtient que le point de stratification qui maximise Ex m avec les conditions imposées est le point P=(0.5172, − 0.3672). On peut donc calculer (par exemple par le biais des formules de page 413) la valeur obtenue pour Ex m; on trouve Ex m=60 GPa. Il ne reste plus qu’à décider comment obtenir le stratifié qui a ces caractéristiques. Pour cela, on peut suivre la procédure analytique de page 409. Si l’on prend ν1=0.5, on obtient facilement.

Donc, le stratifié est composé par une séquence symétrique d’un égal nombre de couches dans chacune des orientations suivantes: ±21.20°, ±36.39°. Le nombre minimum de couches est donc 8. D’autres problèmes de conception des propriétés de membrane peuvent être traités de la même façon, dont, par exemple, celui de la conception des coefficients d’expansion thermique. Plus difficile est la conception de la rigidité en flexion. Dans ce cas, en fait, les formules de page 396 montrent que dans la définition des paramètres de stratification entrent aussi les coefficients dk, et donc la position de la couche sur la séquence d’empilement. En outre, on a déjà dit de la difficulté d’obtenir au même temps le découplage membrane-flexion et l’orthotropie en flexion.

Ceci veut dire que, a priori, on ne peut pas considérer nuls les termes Dxs et Dys, et donc qu’il faudrait travailler avec 4 paramètres de stratification et pas avec 2. En définitive, l’approche de Miki, à stricte rigueur, n’est plus possible en flexion. Pour palier à cet inconvénient et continuer à utiliser une méthode d type de celle de Miki, beaucoup d’auteurs font l’hypothèse que le composantes Dxs et Dys, soient négligeables. En définitive, ils considèrent le stratifié comme s’il était orthotrope en flexion, mais il faut préciser que cette hypothèse n’a pas de fondement scientifique précis, et il n’est pas exclu que, a posteriori, les composantes Dxs et Dys se révèlent de valeur importante. Par cette approche, on se réduit à considérer les seuls paramètres de stratification ξ9 et ξ10, pour lesquels valent des limitations analogues à celles pour ξ1 et ξ2 (Miki, 1985):

La conception par rapport à la rigidité en flexion est nécessaire aussi dans deux circonstances importantes: le dimensionnement par rapport à la charge critique de stabilité ou aux fréquences propres. 􀂄 Dans les deux cas, il faut spécifier la géométrie et les conditions d’appui de la plaque, et pour le cas de la charge critique aussi le type de sollicitation de membrane (normalement, des actions dans le plan moyen de la plaque et sur son contour). 􀂄 Les solutions dont on dispose concernent généralement les plaque rectangulaires orthotropes en flexion, avec les axes d’orthotropie parallèles aux côtés de la plaque. 􀂄 Cette dernière semble être une condition indispensable pour obtenir une solution analytique (sous forme analytique ou en série) à tout problème de plaque anisotrope; il n’existe pas, en fait des solutions analytiques pour des plaque rectangulaires orthotropes hors axes; en définitive, la présence des termes de couplage flexion-torsion, Dxs et Dys, exclue, apparemment, la possibilité de trouver une solution analytique ou en série.La plaque est considérée découplée (par exemple par la symétrie de la séquence) et orthotrope (éventuellement parce qu’on considère nuls Dxs et Dys). On a déjà vu que cette hypothèse est, la plupart des fois, une approximation, éventuellement à vérifier a posteriori.