Construction du maillage

Dans ce chapitre, nous décrivons les maillages et les principaux résultats de la méthode de volumes finis, appelée DDFV acronyme de « Discrete Duality Finite Volume ». Avec ces schémas, nous faisons les discrétisations spatiales des équations de Stokes et de Navier- Stokes décrivant des écoulements d’un fluide incompressible sur des maillages conformes et non conformes. Le principe consiste à construire des opérateurs gradient, divergence et rotationnel discrets, puis de remplacer les opérateurs qui interviennent dans les EDP par leurs équivalents discrets. Ces opérateurs agissent sur des maillages quelconques par un choix judicieux des inconnues. eursversionsontvulejour[32], [34], [17]. L’idée générale de ces méthodes est de combiner deux maillages Volumes Finis distincts en les superposant : le maillage primal et le maillage dual où les cellules sont construites autour des sommets du maillage primal. Un troisième maillage, appelé maillage diamant est nécessaire pour la construction d’un gradient consistant. Ceux-ci conservent la structure du problème continu, si bien qu’il est possible d’écrire une formule de Green discrète qui donne un équivalent de la formule continue. Les opérateurs ainsi construits sont en dualité discrète, ce qui donne le nom à la méthode.Le premier schéma que nous avons étudié est basé sur la méthode proposée par Y. Coudière et F. Hubert [30], puis détaillée par S. Krell et al. [58, 59]. Dans ce schéma, les inconnues sont localisées aux centres des cellules, aux sommets et aux faces, et également aux milieux des arêtes, d’où l’appellation CeVeFE-DDFV (Cell/Vertex/Face/Edge). De cette façon, on doit tenir compte d’un autre maillage dit « faces-arêtes ». Le second schéma auquel nous nous sommes intéressé et qui est adaptée dans ce travail, repose sur une méthode appelée CeVe-DDFV. Contrairement au premier schéma, les inconnues ne sont pas positionnées aux milieux des arêtes. Cette méthode a été introduite par C. Pierre [78]etuti ement par Y. Coudière et al. [29]. La méthode que nous avons développée est basée sur la variante étudiée par B. Andreianov et al. [1, 2]. La particularité de ce schéma est que le maillage primal et le maillage dual recouvrent chacun exactement une fois le domaine. Néanmoins, les relations de dualité discrètes restent conservées.

En considérant une face σ et sa cellule de centre K on peut construire un demi-diamant Dσ,K . Ainsi, un diamant Dσ,K est la réunion de deux demi-diamants Dσ,K et Dσ,L. Les demi-diamants sont 2 à 2 disjoints et couvrent entièrement le domaine Ω, de sorte que : Nous traitons par la suite deux exemples concrets et importants de maillage DDFV en dimension 2 puis en dimension 3 adaptés respectivement pour les domaines quadrilatères et parallélépipédiques et leurs unions. En dimension 2, les faces sont des segments de droite non réduits à un point. Les cellules sont sous forme triangulaire (voir les figures précédentes) ou quadrilatère (voir la figure 3.3). Grâce aux mailles primales et duales, on définit les mailles diamants qui composent le maillage D comme illustré dans figure 3.4. En pratique on remarque que ces diamants sont En dimension 3, les faces sont des polygones ; en pratiques ce sont des triangles ou des quadrilatères. Pour simplifier les notations et pour donner des illustrations, nous prenons un parallélépipède rectangle, comme illustré dans la figure 3.5 partitionné de façon uniforme (à noter que ni la forme cubique, ni l’uniformité des mailles n’est importante ; la construction se généralise aux maillages cartésiens non conformes).Chaque élément du maillage DDFV a un volume de contrôle. Il s’agit d’une mesure que l’on associe à cet élément. On note |X| la mesure d’un objet géométrique X. Les grandeurs |K| et |A| désignent respectivement les mesures dans Rd d’une cellule primale de centre K et d’une cellule duale dont le centre est le sommet A. Pour une interface σ, |σ| désigne sa mesure en dimension d − 1 (sa longueur si d =2ou son aire si d =3).Afin de calculer les volumes de contrôle de ces éléments, on introduit tout d’abord une décomposition de chaque demi diamant Dσ,K en simplexe. Les diamants formant une parti- tion du domaine, cette décomposition aboutit à une partition du domaine en simplexe. En dimension 2 ces simplexes sont des triangles indexés sur les sommets de σ, en dimension 3, ce sont des tétraèdres indexés sur les arêtes de σ (voir figure 3.7 et 3.10).