Contribution à la résolution d’un problème inverse de l’ensablement d’un lac

Formulation mathématique d’un modèle d’ensablement d’un lac

 Description d’un modèle d’ensablement de lacs

Ce chapitre donne une formulation d’un modèle de sédimentation de lacs à plus ou moins long terme. Des résultats sur le caractère bien posé au sens de Hadamard de la formulation faible de ce modèle et quelques questions sur l’existence d’une solution maximale admissible sont présentés. L’existence de la solution à plus ou moins long terme résulte d’une condition d’entropie qui doit être satisfaite. Cette condition exprime que le processus d’extinction n’a lieu que lorsque le taux de sédiments déposés en tout temps reste supérieur à un taux d’érosion. Ainsi, une solution du modèle mathématique est dite physiquement admissible si elle satisfait la condition d’entropie. Enn, une formulation inverse conformément à la problématique de cette thèse est donnée à la n de ce chapitre. 

Description d’un modèle d’ensablement de lacs 

Description d’un modèle d’ensablement de lacs Il est bien connu, voir par exemple [4], que l’ensablement des lacs ou des courts d’eau résulte d’un phénomène de sédimentation progressive du lit. Cette modication progressive du fond est en fait une conséquence de plusieurs processus (érosion, comblement et autres). Figure 2.1  Une schématisation de l’évolution du fond sédimentaire d’un euve ou d’un lac. Celle ci est dénie, ici, par la hauteur S(t, x) des sédiments déposés au fond du lac à l’instant t au point x. Pour désigner l’évolution du fond sédimentaire, on considère Ω un domaine plan représentant la surface libre d’un lac, puis on désigne par y(t, x) = S(t, x) la hauteur du fond sédimentaire. Thèse de Doctorat unique (UCAD, Dakar) Figure 2.2  Un exemple d’évolution de fond sédimentaire. Les équations décrivant cette évolution décrites dans [18] sont alors : ∂y ∂t − ∇.A∇y + F(y) = 0 dans Ω × (0, T) (2.1) (A∇y).n = g sur Γ × (0, T) (2.2) y(0) = y0 sur Ω (2.3) ∂ty + E ≥ 0 dans Ω (2.4) Le terme ∇.A∇y décrit le processus de convection diusion de sédiments ; A étant ici un opérateur de convection diusion. Les eets de type réaction, comblement et autres sont décrit par le terme F(y). L’inéquation ∂ty + E ≥ 0 apparait comme une contrainte de type entropie où le terme E désigne le taux maximal d’érosion (voir [4]). La description des eets non linéaires, à travers l’expression F(y), est fondamentale pour l’évolution rapide ou non du fond sédimentaire. Dans [17], une étude avait permis d’élaborer cette expression sous la forme : F(y) =     ∂y ∂x1    p0 +    ∂y ∂x2    p0 λ ∂y ∂x1 + α ∂y ∂x2  + ∂a ∂x1 ∂y ∂x1 + ∂b ∂x2 ∂y ∂x2 (2.5) où p0 est un paramètre jouant sur la raideur d’une pente du relief de fond, λ est un paramètre représentant le coecient d’advection des sédiments dans la direction de la variable x et α est un paramètre représentant le coecient d’advection des sédiments dans la direction de la Thèse de Doctorat unique (UCAD, Dakar) 

Cadre fonctionnel et résultats théoriques variable y. 

Désignons par Λ ∈ R m(m > 1) le vecteur paramètre. L’opérateur A et la fonctionnelle F sont naturellement dépendants de Λ de sorte que le problème consiste à chercher le couple paramètre – état (Λ, y) ∈ (L ∞(Ω))m × C 1 (0, T; H1 (Ω)) telle que l’état y associé au vecteur paramètre Λ soit solution du problème (2.1)-(2.4). 2.2 Cadre fonctionnel et résultats théoriques Le vecteur paramètre Λ étant supposé connu, le problème direct, consiste ici, à chercher y(t) solution du système (2.1)-(2.4). Un problème inverse peut consister, ici, à chercher le vecteur paramètre Λ si on connait des mesures partielles de l’état du système y(t). Mais, nous pouvons aussi, comme on va le voir dans la suite de cette thèse, formuler le problème de reconstruction d’un état initial si on dispose de quelques mesures sur l’état du système sur une période donnée. 

 Formulation faible du problème direct 

Nous supposons que le vecteur paramètre Λ est bien connu ainsi que la donnée de bord g. Le problème direct, consiste à chercher y(t) solution du système (2.1)-(2.3). En multipliant l’équation (2.1) par une fonction test φ et en intégrant par partie sur Ω, il vient Z Ω ∂y ∂t φ − Z Ω (∇.A∇y)φ + Z Ω F(y)φ = 0. Moyennant des conditions de régularité appropriées sur y, il vient de la formule de Green que : Z Ω ∂y ∂t φ + Z Ω (A∇y)∇φ − Z Γ g.φ + Z Ω F(y).φ = 0 Remarquant que Z Ω ∂y ∂t φ = d dt Z Ω y.φ, ∀φ ∈ H 1 (Ω), Thèse de Doctorat unique (UCAD, Dakar) 16 2.2 Cadre fonctionnel et résultats théoriques une formulation faible du problème (2.1)-(2.3) est donc : Trouver y ∈ C 1 (0, T; H1 (Ω)) tel que pour tout φ ∈ H1 (Ω) on ait d dt Z Ω y.φ + Z Ω A∇y.∇φ − Z Γ g.φ + Z Ω F(y).φ = 0 (2.6) et y(0) = y0 dans Ω (2.7) 2.2.2 Existence et unicité de la solution du problème faible Dans cette section on suppose, a priori, que Λ ∈ (L ∞(Ω))m. L’espace de Sobolev H1 (Ω) étant un espace de Hilbert séparable, il existe une famille totale dénombrable (φi), i ∈ N ∗ dans H1 (Ω), telle que Z Ω φiφj = δij (2.8) On a : Proposition 2.1. Soit y0 ∈ L 2 (Ω). Sous les hypothèses suivantes :  les fonctions F et g sont de classe C 1 par rapport à chacun de leurs arguments,  F(u).u ≥ 0 ∀ u et F(0) = 0,  la matrice A est dénie positive, il existe une unique suite (y k (t))k∈N ⊂ H1 (Ω) telle que y k (t) = X k j=1 ykj (t)φj (2.9) et pour i = 1, …., k on ait : d dt Z Ω y k (t).φi + Z Ω A∇y k (t).∇φi − Z Γ g.φi + Z Ω F(y k (t)).φi = 0 (2.10) et y k (0) = y0 (2.11) Thèse de Doctorat unique (UCAD, Dakar) 

Cadre fonctionnel et résultats théoriques Démonstration

L’existence d’une solution de (2.10)-(2.11) sous la forme y k (t) = X k j=1 ykj (t)φj se ramène à la résolution du système : dyki(t) dt + X k j=1 ykj (t)a(φi , φj ) − Z ∂Ω gφi + Z Ω F( X k j=1 ykjφj )φi = 0 (2.12) yki(0) = Z Ω y0φi . (2.13) où on a posé a(φi , φj ) = Z Ω A∇φi .∇φj . (2.14) F et g étant de classe C 1 par rapport à chacun de leurs arguments, l’application qui à y k = (yki) associe le vecteur dont la i-ème composante est − X k j=1 ykj (t)a(φi , φj ) + Z Γ gφj − Z Ω F( X k j=1 ykjφj )φi , (2.15) est aussi de classe C 1 et donc localement lipschitzienne. Grâce au théorème de CauchyLipschitz, le système (2.12) admet une unique solution (ykj (t))j . Il existe donc une unique suite (y k ) de la forme (2.9) satifaisant le système (2.10)-(2.11). Nous avons le résultat suivant : Proposition 2.2. [18] Soit y0 ∈ L 2 (Ω). Sous les hypothèses de la proposition (2.1), la suite (y k )k solution de (2.10)-(2.11), satisfait ky k (t)k 2 H1(Ω) ≤ C  ky0k 2 L2(Ω) + Z t 0 kg(s)k 2 L2(Γ)ds + Z t 0 ky k (s)k 2 H1(Ω)ds . (2.16) pour une certaine constante C positive. Démonstration. En considérant (y k ) la suite dénie par (2.9) et solution de (2.9)-(2.10), on établit 1 2 d dt Z Ω (y k (t))2 + Z Ω A∇y k (t)∇y k (t)) + Z Ω F(y k (t)).yk (t) = Z Γ g.yk (t). (2.17) Grâce à la propriété d’ellipticité de A et à celle de la croissance de F on peut déduire l’inégalité suivante 1 2 d dt Z Ω y k (t) 2 + α Z Ω | ∇y k | 2≤ Z Γ gyk (t) (2.18) Il vient que Z Γ gyk (t) ≤ Ckgk 2 L2(Γ) + Cky k (t)k 2 H1(Ω). (2.19) En utilisant successivement (2.18) et (2.19), puis le théorème des traces 1 2 d dtky k (t)k 2 L2(Ω) + αk∇y k (t)k 2 ≤ Ckgk 2 L2(Γ) + Cky k (t)k 2 H1(Ω) (2.20) En intégrant sur (0, t), il en découle 1 2 ky k (t)k 2 L2(Ω) + α Z t 0 k∇y k (s)k 2 ds ≤ ky k (0)k 2 L2(Ω) + C Z t 0 kg(s)k 2 L2(Γ)ds + C Z t 0 ky k (t)k 2 H1(Ω)ds(2.21) Or y k (0) = y0, donc on en déduit nalement qu’il existe une constante C > 0 telle que ky k (t)k 2 H1(Ω) ≤ C. ky0k 2 L2(Ω) + Z t 0 kg(s)k 2 L2(Γ)ds + Z t 0 ky k (s)k 2 H1(Ω)ds pour t ≤ T. (2.22) Le résultat suivant s’ensuit. Théorème 2.1. Sous les hypothèses de la proposition (2.1), pour tout y0 ∈ L 2 (Ω), g ∈ L 2 (0, T; L 2 (Γ)), il existe une unique fonction y ∈ L 2 (0, T; H1 (Ω)) solution du problème (2.6)- (2.7). Démonstration. Etape 1 : Existence D’après la proposition (2.2), il existe une suite (y k )k vériant l’inégalité (2.16). En vertu du lemme de Gromwal on en déduit que : ky k (t)k 2 H1(Ω) ≤ C.