Couplages thermo-mécaniques des élastomère

Identification des paramètres mécaniques en fonction de la température

 Introduction et présentation de la démarche

La résolution du problème mécanique nécessite la connaissance de l’évolution, en fonction de la température, des quatre coefficients mécaniques définissant le comportement de l’élastomère : a1(T), c1(T), c2(T), ν(T). L’idée générale est d’identifier ces grandeurs sur les trois essais de type 1 (enceinte et matériau thermostatés) à températures positives (23◦C, 70◦C, 100◦C) d’amplitude et de fréquence de cisaillement respectivement de 50% et 3.1Hz et ce, par le biais de l’algorithme d’identification présenté § II.2.3. Ces résultats sont alors extrapolés par l’intermédiaire de lois linéaires ou exponentielles. Remarque III.1 L’identification des coefficients matériaux est volontairement limitées à une plage de températures positives pour : – d’une part s’assurer de ne pas englober la température de transition vitreuse qui impliquerait des évolutions trop rapides des coefficients mécaniques et donc une contradiction avec l’hypothèse H. III.1, – d’autre part pour des températures négatives, viennent se superposer au comportement visqueux, des comportements plastiques et/ou fragiles. Il semble donc ambitieux de considérer que le modèle mécanique adopté, purement viscoélastique, puisse rester valide pour des plages de températures négatives. 

Traitement et résolution numérique 

Cas général

Découplage des problèmes thermique et mécanique

Grâce en particulier aux hypothèses H. III.1 et H. III.2, il est possible d’adopter l’algorithme de couplage « faible » décrit FIG. III.8 qui consiste en un découplage des calculs thermiques et mécaniques [Bérardi, 1995 ; Gabrieli, 1995 ; Holzapfel et Simo, 1996]. Au cours de la modélisation, est réalisée une succession de calculs mécaniques et thermiques. Les calculs mécaniques sont supposés isothermes, tandis que les calculs thermiques sont réalisés sur la géométrie déformée à vitesse de déformation nulle et en considérant la dissipation intrinsèque comme source volumique de chaleur (2) . Une telle description du couplage nécessite la réalisation d’essais numériques mécaniques et thermiques sur un même temps de modélisation : Tmec = Tthe. 

Stratégie de résolution 

D’un point de vue mécanique, on adopte la formulation éléments finis présentée au chapitre II. On rappelle que cette dernière est basée sous l’hypothèse d’une cinématique plane. Sur le plan thermique, la formulation éléments finis développée par Bérardi [1995] est utilisée. Une rapide présentation en est faite dans l’annexe G. Cette même annexe justifie l’utilisation d’un modèle 2D par comparaison avec une modélisation 3D sur un problème type. A priori, rien n’oblige les discrétisations spatiales thermiques et mécaniques à être identiques.Cependant, dans un souci de simplicité, sont utilisés, par la suite, les mêmes découpages géométriques, seuls les degrés d’interpolation des éléments pourront différer. Ceci est, en particulier, utile afin d’éviter le comportement instable de certains éléments thermiques à interpolation quadratique tels que les éléments triangulaires à 6 noeuds. Dans le cas d’un même découpage géométrique, seuls les sommets des éléments thermiques et mécaniques sont confondus, si bien qu’il faut : – d’une part évaluer la température en chaque point de Gauss mécanique – et d’autre part déterminer la dissipation intrinsèque en chaque point de Gauss thermique ainsi que le gradient de transformation sur le maillage thermique permettant un calcul sur la géométrie déformée. 

Cas particulier d’une sollicitation mécanique périodique

Sollicitations mécaniques et couplages thermo-mécaniques dans la littérature

Dans le cas de sollicitations cycliques, la méthode de couplage présentée ci-dessus, demande des temps de calculs très importants et ce, en particulier à cause du calcul mécanique fortement non linéaire .Quelques auteurs se sont intéressés à ce problème. Dans le cas du cisaillement périodique à faible fréquence d’un bloc d’élastomère, Holzapfel et Simo [1996] montrent que la solution analytique d’un problème de couplage thermo-mécanique oscille autour d’une valeur moyenne. Cette dernière peut être obtenue à partir d’un unique calcul thermique pour lequel on affecte comme terme source de chaleur, la valeur analytique moyenne de la dissipation. Ils appliquent ensuite cette méthode sur une structure complexe (FIG. III.9(a)). Lion [1996] obtient des résultats similaires pour un essai de traction cyclique. Il met en évidence que dans la partie stationnaire de l’évolution de la température, la période des oscillations est celle de la sollicitation mécanique (FIG. III.9(b)). 

Algorithme adopté

En utilisant la propriété de périodicité de la dissipation intrinsèque obtenue pour une sollicitation cyclique, il est possible de considérer le problème numérique global à résoudre comme une succession de couples de problèmes (i.e. un problème mécanique + un problème thermique). Le problème mécanique, dont les coefficients matériau ont été identifiés à partir du champ de température résultant de la partie thermique du couple précédent, est mené jusqu’à stabilisation de la dissipation intrinsèque. La moyenne temporelle de cette grandeur, φ¯int 0 (t) = Z t 0 φ int 0 (s)ds t , (III.17) est alors considérée comme terme source du calcul thermique (3) qui est réalisé sur la géométrie non déformée. Ce calcul est mené jusqu’à obtention d’une évolution raisonnable (4) de la température globale de la structure. Le champ de température ainsi obtenu peut alors être utilisé pour réidentifier les champs spatiaux des différents paramètres mécaniques du couple de problème suivant. L’algorithme décrit est identique à celui mis en place dans le paragraphe § III.5.1, avec : Tmec 6= Tther,

 Validation 

Problème physique 

On se propose, dans ce paragraphe, de valider l’algorithme précédent. Le test décrit FIG. III.11 est réalisé. La fréquence f est de 3.1 Hz et le taux de déformation globale de 50% (i.e. U0 = 5mm). Deux configurations différentes sont adoptées pour la répartition des calculs mécaniques et thermiques.

Configurations adoptées de l’algorithme de couplage 

– Première configuration : couplage complet (5) . Tmec = Tther = 0.02s. La dissipation intrinsèque instantanée est considérée comme terme source du calcul thermique. Le calcul thermique est réalisé sur la géométrie déformée. – Seconde configuration : calcul simplifié. On réalise un seul calcul mécanique jusqu’à stabilisation de la dissipation i.e. : Tmec = 0.93s( Trois cycles de chargement). Le calcul thermique est alors réalisé sur un temps de modélisation : Tthe = 15s, avec un terme source mécanique ramené à la moyenne temporelle de la dissipation intrinsèque (III.17). Le problème thermique est résolu sur la géométrie non déformée.On constate FIG. III.13 que les deux configurations donnent des résultats très proches. De manière plus précise, on peut voir sur un zoom de ces mêmes courbes, une oscillation de l’évolution obtenue par la configuration 1 autour des résultats donnés par la configuration 2. La fréquence III.5. Traitement et résolution numérique 113 de ces oscillations est égale à deux fois celle de la sollicitation mécanique, i.e. f = 6.2Hz. Ce résultat était attendu, la dissipation (et par conséquent le terme source mécanique de l’équation de la chaleur) passant par un maximum pour les maxima et minima de la sollicitation mécanique. L’écarts entre ces deux évolutions n’excède pas le 1/100e de degré. Or, il semble évident que les différentes hypothèses simplificatrices H. III.1 et H. III.2 ainsi que le mode de résolution alternatif (enchaînement de calculs mécaniques et thermiques) induit par l’algorithme de couplage « faible » ne laissent pas espérer une telle précision. De plus, le temps de calcul requis par la configuration 1 est de l’ordre de 15 fois celle nécessaire à la résolution de la configuration 2 (i.e. ≈2 heures CPU sur un IBM SP2 bi-processeurs). Par conséquent la modélisation d’essais de type 2 (cf. § III.2) sur 600 secondes par une configuration de type 1 demanderait environ 1290 heures CPU. Pour ces deux dernières raisons et à l’instar de Holzapfel et Simo [1996], il est adopté, par la suite, une généralisation de la configuration 2. Ainsi la résolution reste la même que pour un calcul de type 1, en considérant un temps mécanique (Tmec, cf. FIG. III.8) pour obtenir une stabilisation de la dissipation. Quant au problème thermique, un temps de résolution (Tthe, cf. FIG. III.8) raisonnable doit être adopté pour ne pas induire de trop fortes évolutions du champ de température. Ce dernier point fait l’objet du paragraphe § III.5.3.a consacré à l’organisation et à l’enchainement des différents calculs.