Méfions-nous cependant : le fait que le coefficient de corrélation de X et Y est nul ne signifie pas du tout que X et Y sont indépendantes (…qu’il n’y a pas de corrélation entre X et Y…). Prenons par exemple une variable X de loi symétrique par rapport à 0 (par exemple de loi uniforme sur [-1, 1]), et posons Y = X2. La loi de XY = X3 est aussi symétrique par rapport à 0. Ainsi, E(XY) = 0 = E(X) E(Y), et donc ρ (X, Y) = 0.
Pourtant, X et Y ne sont pas (du tout) indépendantes, puisqu’au contraire, la donnée de la valeur prise par X détermine complètement la valeur prise par Y.

Exercices

Exercice 4-11 : Calculer l’espérance et la variance de la variable aléatoire M de l’exercice 3-12.
Exercice 4-12 : Les transistors fournis par une usine sont défectueux dans la proportion p. On teste un transistor après l’autre jusqu’à en obtenir un bon. On note N le nombre de tests effectués. Quelle est la loi de N ? Calculer l’espérance de N.
Exercice 4-13 : Une machine est constituée de n sous-unités identiques. Elle fonctionne si toutes ses sous-unités fonctionnent. Le procédé de construction des sous-unités est tel qu’elles sont défectueuses dans la proportion p, et indépendamment les unes des autres.
Pour construire une machine sans défaut, deux procédés sont envisagés :
a) On construit une sous-unité, on la teste, si elle est bonne, on la monte, sinon, on la jette, etc… On continue jusqu’à avoir monté les n sous-unités de la machine. On suppose pour simplifier qu’il n’y a pas de problème de montage. La machine ainsi construite est donc bonne.
b) On construit et monte sans les tester n sous-unités, et on teste la machine ainsi constituée. Si elle ne marche pas, on la jette, et on recommence jusqu’à obtenir une bonne machine.
On note :
cu le coût de construction d’une sous-unité,
tu le coût du test d’une sous-unité,
tm le coût du test d’une machine,
et on suppose pour simplifier que le coût d’assemblage des unités est nul.
1) On note C le coût de construction d’une bonne machine. Calculer l’espérance de C dans les deux cas a) et b).
2) On suppose tu = tm = cu 2, et n = 10 (puis n = 100). Suivant la valeur de p, quel est le procédé de fabrication qui est préférable ?

I- Le modèle probabiliste
1- Evènements
2- Loi de probabilité, espace de probabilité
3- Le cas où les évènements élémentaires sont équiprobables
4- Exercices
II- Probabilités conditionnelles
1- Définition
2- Deux résultats de décomposition
3- Evènements indépendants
4- Exercices
III- Variables aléatoires : généralités
1- Définitions
2- Variables aléatoires discrètes, variables aléatoires à densité
3- Couples de variables aléatoires
4- Variables aléatoires indépendantes
5- Exercices
IV- Caractéristiques numériques des variables aléatoires
1- Espérance
2- Variance, covariance
3- Exercices
V- Variables aléatoires usuelles
1- Loi de Bernoulli (p)
2- Loi binomiale (n, p)
3- Loi uniforme
4- Loi exponentielle
5- Loi de Poisson (λ )
6- Loi normale (µ, σ)
7- Exercices
VI- Somme d’un grand nombre de variables aléatoires indépendantes
1- L’inégalité de Tchebychev
2- Loi des grands nombres
3- Théorème central-limite
4- Exercices
VII- Echantillonnage
1- Description des données statistiques sur un caractère
2- Echantillons aléatoires, statistiques, estimateurs
3- Estimateurs les plus usuels
a) Moyenne de l’ échantillon
b) Variance de l’échantillon
c) Fonction de répartition de l’échantillon
4- Un exemple de comparaison de l’efficacité de deux estimateurs
5- Statistiques issues d’une loi normale
a) Lois issues de la loi normale
b) Moyenne et variance d’un échantillon de loi normale
VIII- Tests d’hypothèses sur les valeurs des paramètres d’une variable aléatoire
1- Valeur de l’espérance d’une variable normale de variance connue
2- Valeur de l’espérance d’une variable normale de variance inconnue
3- Valeur de la variance d’une variable normale
4- Valeur de la probabilité d’un évènement
5- Valeur de l’espérance d’une variable aléatoire de loi quelconque
6- Intervalle de confiance pour l’estimation d’un paramètre
7- Exercices
IX- Tests portant sur l’égalité des espérances de plusieurs variables aléatoires
1- Egalité des espérances de deux variables normales
a) variables normales de variances connues
b) variables normales de même variance inconnue
c) variables normales de variances inconnues
2- Egalité de deux probabilités
3- Egalité des espérances de plusieurs variables normales : méthode de la variance
4- Exercices
X- Tests d’hypothèses non-paramétriques sur la loi d’une variable aléatoire
1- Egalité de la loi de l’échantillon et d’une loi spécifiée
a) Test du khi-deux
b) Test par simulation
2- Cas où certains paramètres ne sont pas spécifiés
3- Egalité des lois de plusieurs échantillons
4- Indépendance de deux caractères aléatoires
5- Test des signes
6- Exercices
Textes d’examens