Cours géométrie dans l’espace, tutoriel & concepts de la géométrie de l’espace en pdf.

Axiomes d’incidence et d’ordre

Introduction

L’espace ξ3 est un ensemble non vide dont les éléments sont appelés points. Parmi les sous ensembles non vides de ξ3 on distingue la famille ∆ dont les éléments sont appelés droites et la famille Π dont les éléments sont appelés plans. Afin que le contenu de ce paragraphe ne soit pas en quelque sorte vide, nous allons admettre le pseudo-axiome suivant qui sera une conséquence des axiomes.
Α0 : Toute droite de ξ3 contient au moins trois points distincts et tout plan de ξ3 contient au moins deux droites distinctes.
Axiome Α1
Α1 : Par deux points distincts, il passe une droite et une seule.
Notation : soit A et B deux points distincts de ξ3, la notation (AB) désignera la droite contenant ces deux points.
 Axiome Α2
Α2 : Si un plan Π contient deux points distincts A et B, alors Π contient la droite (AB).
Axiome Α3
Α3 : Pour trois points de ξ3 il passe au moins un plan.

Démonstration

1- D’après l’axiome Α3, il existe un plan P passant par A, B et C. Supposons qu’il existe un autre plan Q contenant A, B et C. Ce plan contient alors les droites (AB), (BC) et (CA).
Soit M un point de P.Il découle de l’axiome Α2 que si M appartient à l’une des droites (AB), (BC), (AC), M appartient alors à Q. Supposons M extérieur à ces trois droites et soit E ∈ ]AC[. D’après le postulat d’Euclide (Axiome Α4 ) appliqué dans le plan P, la droite (ME) ne peut être parallèle à la fois à (AB) et à (BC). Il s’ensuit que (ME) coupe l’une de ces droites, (BC) par exemple en un point que l’on note F. Mais les droites (AB) et (BC) sont aussi contenues dans le plan Q, alors F et E appartiennent au plan Q; il s’ensuit que la droite (FE) est contenue dans Q et que M appartient à Q, et par suite P ⊂ Q. Un raisonnement identique montre que Q ⊂ P.
D’où P ≡ Q.

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