Distributions et équations fondamentales de la physique

Extrait du cours distributions et équations fondamentales de la physique

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Chapitre 4 Transformation de Fourier et distributions temperées
4.1 Introduction
La transformation de Fourier est un outil fondamental de l’analyse. Elle est utilisée dans des domaines très divers: l’étude des équations aux dérivées partielles, l’analyse des signaux, l’automatique etc. Elle permet d’écrire une fonction sommable ainsi que certaines distributions comme une superposition de fonctions exponentielles complexes.
Une propriété fondamentale de la transformation de Fourier est le fait qu’elle transforme les dérivations par rapport à une variable en multiplications par cette variable. Ainsi, les équations différentielles (à coefficients constants) se ramèmnent à des équations algébriques et les équations aux dérivées partielles à des équations différentielles ou même algébriques.
Cette propriété simplifie bien-sur grandement les calculs et permet d’accéder plus facilement à la résolution de nombreux problèmes.
Comme on l’imagine, il est important de pouvoir utiliser cette transformation dans des conditions les plus générales possibles. Nous la définirons d’abord dans le cadre, trop restreint, des fonctions sommables. Pour l’éteindre nous introduirons un espace S beuacoup plus petit que L1, mais dont le dual S est beaucoup plus gros et jouit de bonnes propriétés d’invariance pour la transformation de Fourier. Par dualité nous pourons enfin éteindre cette transformation à S0 (l’espace des distributions tempérées).
Il n’est malheureusement pas possible de définir la transformée de Fourier d’une distri-bution quelconque u. Cela dit, la limitation u 2 S n’est pas très restrictive : en un sens qu’il faudra préciser, les éléménts de S0 sont des distributions quelconques à distance finie, mais dont la croissance doit être au plus polynomiale à l’infini.
Il est important de remarquer que la transformation de Fourier ne s’applique que lorsque l’ouvert ­ est égal à l’espace R tout entier. Cependant, on peut encore utiliser la transformation de Fourier lorsque ­ = Rn à condition de multiplier au préalable les fonctions (ou les distributions) que l’on cherche à transformer par une fonction de D(­). Ceci permet d’obtenir des informations locales sur la solution d’un problème posé dans ­.
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Sommaire: Distributions et équations fondamentales de la physique

1 Introduction
2 Rappels et compléments
2.1 Rappels de calcul différentiel
2.2 Existence des fonctions de classe C
2.3 Partition de l’unité
2.4 Quelques rappels sur l’intégrale de Lebesgue
2.5 Convolution et régularisation
2.6 Exercices du Chapitre 1
3 Définitions et propriétés des distributions
3.1 Définitions de base
3.2 Dérivation de distributions
3.3 Multiplication par des fonctions de classe C
3.4 Limites de distributions
3.5 Distributions à support compact
3.6 Convolution d’une distribution et d’une fonction C
3.7 Formule de Stokes et formule des sauts dans l’espace
3.7.1 Intégrale de surface et formule de Stokes (cas d’un surgraphe) .
3.7.2 Intégrale de surface et formule de Stokes (cas d’un ouvert régulier)
3.7.3 Formule des sauts dans l’espace
3.7.4 Applications
3.8 Exercices du Chapitre 3
4 Transformation de Fourier
4.1 Introduction
4.2 Transformation de Fourier dans L
4.3 L’espace S de Schwartz
4.4 L’espace S des distributions tempérées
4.5 Transformation de Fourier des distributions tempérées
4.6 Transformation de Fourier dans L
4.7 Espaces de Sobolev
4.7.1 Définition et propriétés des espaces de Sobolev d’ordre entier
4.7.2 Les espaces H), avec s 2 R
4.8 Exercices du Chapitre 4
5 Transformation de Fourier et EDP
5.1 Problème de Dirichlet pour le Laplacien dans un demi-espace
5.2 Equation de la chaleur
5.2.1 Solutions classiques
5.2.2 Solutions généralisées
5.3 L’équation des ondes
5.3.1 Solutions classiques
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