Énergie d’un milieu poreux

Dans cette partie nous précisons un point de microporomécanique, en complément de la pré- sentation qui a été faite au § 3.4. Nous faisons ici une description détaillée de l’écriture de l’éner- gie d’un milieu poreux. Les matériaux étant tous considérés comme élastiques linéaires, l’énergie macroscopique est nécessairement quadratique en fonction des paramètres de chargement ma- croscopiques que sont les pressions dans les différentes familles de pores, et les déformations ou contraintes macroscopiques. Il s’agit dans cette partie d’établir clairement les écritures des énergies en fonction des propriétés poromécaniques à l’échelle macroscopique.On fait tout d’abord ce travail pour un milieu élastique troué. Dans un second temps, on imagine que notre milieu poreux peut avoir plusieurs échelles imbriquées les unes dans les autres et qu’il peut donc être intéressant d’avoir deux étapes d’homogénéisation successives. On explique alors comment on introduit un milieu poreux équivalent pour l’échelle intermédiaire. On rassemble enfin ces informations pour écrire l’énergie d’un milieu poreux hétérogène.On appelle milieu élastique troué un milieu formé d’une matrice solide de rigidité connue et variable, comportant un certain nombre de trous sous pression. On écrit dans cette partie les énergies d’un tel milieu, sans notion de changement d’échelle, puisque l’on n’essaie pas de représenter un matériau réel mais simplement d’étudier ce cas modèle du milieu élastique troué. La présentation que nous faisons a de nombreux points communs avec l’approche de Dormieux [11].

On peut maintenant écrire l’énergie élastique volumique de notre solide poreux, qui est une fonction quadratique de nos paramètres de chargement, ce qui viendra naturel- lement par l’introduction de l’écriture de la déformation sous forme superposée en fonction des tenseurs de localisation en déformation et en pression (équation 6.3).Cette expression théorique fait intervenir l’ensemble des couplages possibles. Elle n’est ce- pendant pas facile à manipuler. En particulier, il est plus habituel d’effectuer les intégrations par parties (IPP) sur les déformations et les contraintes, en repartant d’une expression en fonction de ces quantités comme donnée dans le terme central de l’Eq 6.4.par N +1 intégrales surfaciques. On utilise ici la propriété que le champ de contrainte est statiquement admissible, donc à divergence nulle, ce qui s’écrit σ= 0. On repère quelques termes qui sont nuls : le déplacement dû à un chargement en pression dans un pore est nul sur la frontière extérieure, le vecteur contrainte sur la surface d’un pore dans le chargement déplacement imposé sur la frontière extérieure est nul lui aussi.

On remarque que le deuxième terme est nul, puisque le déplacement sur le bord extérieur est nul dans les problèmes à pression imposée. On exprime ensuite la valeur du déplacement imposé sur la frontière extérieure dans la première intégrale, puis la valeur du vecteur contrainte sur la surface des pores dans les deuxième et troisième intégrales. En particulier, le vecteur contrainteOn simplifie la deuxième somme d’intégrales en exprimant le vecteur contrainte sur la surface des pores, comme deux étapes plus tôt, et pour les deux dernières intégrales on fait apparaître la moyenne des tenseurs de localisation en déformation et pression sur les pores :Rappelons que le choix du prolongement des tenseurs de localisation dans les trous n’a pas d’importance lorsque l’on calcule ce type d’intégrales (équation 6.20), puisque par intégration par partie on peut passer à une intégrale sur le bord du trou qui ne dépend donc pas du prolongement choisi.

La deuxième utilisation du théorème de Betti (équation 6.22) nous assurant que le dernier terme de notre nouvelle écriture de l’énergie (équation 6.23) est bien symétrique. On voit donc disparaître de l’énergie élastique les termes de couplage entre les chargements en pression et la déformation extérieure.On remarque dans l’équation 6.23 que les couplages entre la déformation extérieure et les pressions dans les pores ont disparu, ce qui n’était pas à priori attendu au regard de l’écriture de départ (équation 6.5). On peut en fait déduire de cette comparaison trois résultats :– le premier résultat est une application du Lemme de Hill (mentionné au § 3.4), classique en micromécanique, que l’on peut aussi voir simplement comme une intégration par parties tirant avantage de la forme linéaire du déplacement imposé sur la frontière extérieure