Equations du mouvement

Pour traiter le problème des vibrations d’un pneumatique, on va se placer dans l’hypothèse de petite oscillation autour d’une configuration particulière d’équilibre statique. La modélisation comporte donc trois temps: Pour décrire une géométrie, on a un grand éventail de choix. Par exemple, si on traite le problème d’une poutre rectangulaire en vibration de flexion forcée, on choisit de prendre comme géométrie sa configuration non chargée, immobile. Mais on aurait pu choisir à tout instant la forme qu’elle aurait en équilibre statique si on lui appliquait la charge d’excitation. On aurait une géométrie dépendant du temps. Sur cet exemple simple, on voit que la description de la géométrie est un choix, et que certains choix sont plus judicieux que d’autres. On veut une géométrie V0(t) qui caricature la courbure de la bande de roulement au niveau des lignes d’attaque et de fuite de la zone de contact. On a mesuré à ce niveau une forte accélération sur une distance courte, et on veut modéliser ce mouvement par une discontinuité de vitesse. Une telle discontinuité de vitesse ne peut être équilibrée que par une discontinuité de contrainte. Si ia contrainte est une tension membranaire alignée avec le plan tangent de la géométrie, cela implique que la géométrie est anguleuse. De plus, une géométrie anguleuse implique bien un saut de vitesse en régime permanent.

On choisit comme dans [Rahier91] de décrire cette géométrie V0(t) à partir de ia configuration relâchée du pneumatique. A partir de cette configuration, on passe à la géométrie par une rotation de corps rigide, puis une transformation d’écrasement continue ó.. On se propose de montrer au cours du chapitre les hypothèses sur ^ qui simplifient les calculs, mais de garder pour développer les équations une transformation quelconque. On proposera une solution pour ó au chapitre 5. On introduit ici des hypothèses. Cette transformation x^ indique la position des ondes de choc. La surface de discontinuité du vecteur vitesse (onde de choc) au niveau de la ligne d’attaque est notée Ao(t) et la surface au niveau de la ligne de fuite est notée JF0(t). On suppose de plus que ia position des ondes de choc est stationnaire dans cette géométrie, seule leur surface change suivant si elles coupent une rainure ou un patin de gomme. Cela signifie que cette position ne dépend pas du profil de la chaussée, mais uniquement de la structure du pneumatique et de son chargement par le véhicule. On pourra étudier ia propagation des vibrations dans le pneumatique indépendamment de ia chaussée.

On choisit comme configuration de référence le roulement quasi statique du pneumatique sur la chaussée. La jante est chargée par le poids du véhicule et par un couple correspondant au couple du moteur. C’est un état d’équilibre stable, qui dépend de a la rotation de la roue. On va donc décrire ¡’indentation et le glissement comme un petit déplacement sur ia géométrie: On va ensuite chercher ia solution du roulement comme une perturbation de ce mouvement. Cette représentation de la réponse en une réponse quasi statique et une perturbation (ia réponse dynamique) est classique. Eue assure que l’excitation par ¡’indentation et le glissement sur ia chaussée est On superpose à la position d’entraînement un déplacement quasi statique £ (t,Xç). Ce déplacement compté à partir de la position d’entraînement permet de retrouver la position des particules Sors d’un roulement quasi statique. On suppose que ce déplacement est petit pour pouvoir confondre dans les équations d’équilibre la position d’entraînement et la position exacte. La modélisation de ce déplacement peut faire intervenir le comportement non linéaire de la gomme comme dans [Ronneberger88]. Elle doit aussi faire intervenir des lois de contact non linéaires de frottement.