Estimateurs a posteriori pour la méthode XFEM

Dans ce chapitre, on propose, analyse et implémente un estimateur a posteriori par résidu pour le problème de Laplace et pour le système de l’élasticité en dimensiondeux d’espace approximés par la méthode des éléments finis étendus (XFEM). La méthode XFEM permet d’améliorer les calculs éléments finis sur les domaines fissurés en utilisant des maillages sur le domaine non fissuré et en ajoutant des fonctions de base de type Heaviside et des fonctions singulières afin de prendre en compte la géométrie de la fissure et la singularité en pointe de fissure. Les résultats numériques sont réalisés sous la librairieprès de nombreux travaux numériques développés dans divers contextes en mécanique,le premier résultat de convergence avec une estimation a priori a été récemment obtenu pour la méthode XFEM dans [61, 63] : dans l’analyse de la convergence, une difficulté consiste à évaluer l’erreur locale sur les éléments coupés par la fissure en utilisant des opérateurs de prolongement adaptés et des estimations d’erreur spécifiques. Dans [61], les auteurs obtiennent une estimation d’erreur d’ordre h (h désigne le paramètre dediscrétisation) sous la régularité H2+ε de la partie régulière de la solution en gardant en tête que la solution est seulement de régularité H3/2−ε pour tout ε positif. Un travail récent [63] prouve une estimation d’erreur optimale d’ordre h sous une régularité H2 dela partie régulière.

Des travaux numériques remarquables ont été réalisés sur les estimateurs d’erreur aposteriori. Une technique simple de recouvrement et son estimateur associé pour la mé- thode XFEM a été proposé dans [41], [40](par la méthode de recouvrement global étendu XGR), [39](par la méthode des moindres carrés mobiles étendue XMLS) et [207](par la mé- thode SPR avec polynômes conjoints). Ces estimations d’erreur basées sur le recouvrement améliorent la technique de recouvrement par patch superconvergent (SPR) introduite par Zienkiewicz et Zhu. Dans ce chapitre, on propose et on analyse un estimateur d’erreur de type résidu (voir [17], [231]) pour les problèmes de Laplace et de l’élasticité linéaire discrétisés par la méthode XFEM. Comme les maillages ne coïncident pas avec le domaine fissuré, on a besoin d’introduire et d’étudier un nouvel opérateur de quasi-interpolation (voir par exemple [35, 65, 67, 119, 208, 217] pour des opérateurs de quasi-interpolation va- riés). L’utilisation de ce nouvel opérateur nous permet de réaliser une première analyse a posteriori de l’erreur et d’obtenir une borne supérieure de l’erreur de discrétisation. Dans la dernière section, on présente plusieurs résultats numériques, réalisés avec la librairie éléments finis Getfem++ ([99]). Les expériences numériques montrent que l’estimateur d’erreur et l’erreur de discrétisation admettent des taux de convergence similaires lorsque le paramètre de discrétisation tend vers zéro.

En 1957, Irwin a introduit la notion de facteur d’intensité des contraintes comme un paramètre caractéristique des champs en pointe de fissure. Les facteurs d’inten- sité des contraintes KI et KII caractérisent l’intensité de la singularité du champ des contraintes à la pointe et sont proportionnels à la discontinuité du champ de déplacement des lèvres de la fissure pour chaque mode élémentaire. Ils contiennent l’information sur la géométrie de la fissure et la nature des sollicitations.On approche les problèmes (2.1) et (2.2) par la méthode XFEM avec une fonction cut-off introduite dans le chapitre précédent (voir sous-section 1.2.3). On considère une famille régulière de triangulations Th, h > 0 sur le domaine non-fissuré constituée de triangles fermés T tels que On utilise un opérateur de quasi-interpolation πh (voir par exemple [35, 65, 67, 119, 208, 217] pour des opérateurs variés). Au nœud x, la valeur de la quasi-interpolation est souvent une « moyenne » de la fonction sur le patch ωx autour de x. Pour simplifier la discussion suivante, on suppose que les extrémités de la fissure appartenant à ∂Si le triangle est coupé par la fissure alors il est soit enrichi (trois nœuds enrichis) ou partiellement enrichi (un ou deux nœuds enrichis)(voir Figure 1.2). La définition pour les triangles coupés par la fissure est donnée ci-dessous.