ETUDE DES FILTRES NUMERIQUES : EXEMPLE FILTRES RECURSIFS ET NON RECURSIFS

GENERALITES SUR LES FILTRES NUMERIQUES 

Un filtre numérique est un algorithme de calcul par lequel une séquence de nombre 𝑥𝑛 , dite séquence d’entrée est transformée en une autre séquence de nombre 𝑦𝑛 [7]. Un filtre est un système destiné à séparer les différents éléments d’un mélange hétérogène. Le filtre sert à éliminer ou à favoriser le passage d’une fréquence ou d’une bande de fréquence. En traitement du signal, le filtre agit dans le domaine fréquentiel pour séparer des signaux entre eux ou éliminer des signaux indésirables. Le filtrage du signal est une opération qui sert à éliminer les signaux et bruits indésirable. Notre étude tourne autour des filtres récursifs et non récursifs. Ainsi, dans ce chapitre, nous allons définir les principales caractéristiques des filtres numériques. 

 Caractérisation d’un filtre numérique 

La conception et l’implémentation d’un filtre numérique obéissent à des définitions spécifiques. Cette spécification se base sur les filtres passe-bas, filtres passe-haut, filtres passe-bande et filtres réjecteur-de-bande. La sélectivité d’un filtre numérique est exprimée par la zone de transition (bande de transition). Cette zone sépare les bandes passantes(BP) de celles atténuées (BA). Ces quarte filtres de base ont aussi une réponse fréquentielle idéale. Figure I.1- Réponses fréquentielles idéales des 4 filtres de base [11] La spécification d’un filtre numérique est souvent réalisée avec le gabarit fréquentiel. Ce gabarit est défini entre 0 et 𝜋. Le gabarit est aussi appelé le gain en fréquence. 

 Filtres passe-bas et passe-haut

 Un filtre passe-bas est un dispositif qui démontre une réponse en fréquence relativement constante (gain fixe) aux basses fréquences et un gain décroissante aux fréquences supérieures à la fréquence de coupure. La décroissance plus ou moins rapide dépend de l’ordre du filtre [8]. Le filtre passe haut est l’inverse du filtre passe-bas. Le concept de filtre passe-haut est une transformation mathématique appliquée à un signal [9]. La spécification des filtres passe-haut et passe-bas se fait sur la base d’une fréquence de coupure 𝑓𝑐 . Lorsque le signal est coupé alors nous parlons de fréquence de coupure. La fréquence de coupure est la fréquence à laquelle le signal d’entrée est coupé. Les filtres passe-bas laissent passer les fréquences inférieurs à la fréquence de coupure et bloquent celles qui sont supérieurs, avec les filtres passe-haut nous avons l’effet inverse. Dans ce cas un filtre passe-haut laisse passer les fréquences supérieures et atténue les basses fréquences. Chacun de ces filtres possèdent trois zones (bande passante, bande de transition, bande atténuée). Les figures ci-dessous montrent le gabarit fréquentiel linéaire (a) et le gabarit fréquentiel en décibel (bB) d’un filtre passe-bas. I.1.a- Gabarit fréquentiel linéaire I.1.b- Gabarit fréquentiel en dB Figure I.2- Gabarit fréquentiel d’un filtre passe-bas [10] Le gabarit fréquentiel est le module de la réponse en fréquence. La bande de transition sépare la zone passante de celle atténuée. 𝛿1 et 𝛿2 représentent les taux d’ondulations. Sur la figure (I.1.a), la réponse est croissante dans la bande passante, plage de fréquences où le gain prend des valeurs comprises entre (1-𝛿1 , 1 + 𝛿1) et avec la représentation dB (Figure I.1.b) on a le même comportement le gabarit varie de 20log (1-𝛿1) à 20log (1 + 𝛿1). Sur les deux figures, le gabarit est décroissant dans la bande de transition où le gain s’atténue. La bande affaiblie, on l’appelle aussi bande atténuée où le gabarit prend des valeurs inferieurs à 𝛿2 (figure I.1.a). Elle se trouve entre la fréquence passante 𝑓𝑝 et celle atténuée 𝑓𝑎. La bande atténuée est plus large que celle passante et s’étend de 𝑓𝑎 jusqu’a 𝐹𝑒 2 ⁄ .

 Filtres passe-bande et réjecteur-de-bande 

Un filtre passe-bande dérive de la combinaison d’un filtre passe-haut et passe-bas. Un filtre passe-bande est un filtre ne laissant passer qu’une bande de fréquences compris entre une fréquence de coupure basse est une fréquence de coupure haute du filtre . Un filtre coupe- bande aussi appelé filtre réjecteur-de-bande est un filtre empêchant le passage d’un intervalle de fréquences. Il est composé d’un filtre passe-bas et d’un filtre passehaut dont les fréquences de coupure sont souvent proches mais différentes, la fréquence de coupure du filtre passe-bas est symétriquement inferieure à la fréquence de coupure du filtre passe-haut. La spécification des filtres passe-bande et réjecteur-de-bande se fait sur la base d’une fréquence centrale 𝑓0. Cette fréquence est celle qui se trouve au milieu. Les filtres passe-bande laissent passer les fréquences autour de la fréquence centrale et bloquent les autres, l’effet inverse est observé avec les filtres réjecteur-de-bande. C’est-à-dire que ces types de filtres ont un comportement asymétrique par rapport aux filtres passe-bande. Un filtre réjecteur-debande aussi appelé filtre trappe, cloche est le complémentaire du filtre passe-bas. Il atténue une plage de fréquences. Cela peut permettre de diminuer certains parasites. La figure ci-dessous montre une représentation graphique du gabarit fréquentiel linéaire d’un filtre passe-bande. Figure I.3- Gabarit fréquentiel linéaire d’un filtre passe-bande [10] Un filtre de ce type possède plusieurs zones : Une bande passante de 𝑓𝑝− à 𝑓𝑝+ où le gain prend les valeurs de entre 1 − 𝛿1 et 1 + 𝛿1 Deux zones de transitions situées de part et d’autre de la zone passante, le gabarit varie de zéro à 1 + 𝛿1 et de 1 + 𝛿1 à zéro. Deux bandes atténuées de 0 à 𝑓𝑎− et de 𝑓𝑎+ à 𝐹𝑒 2 ⁄ où le gain est inférieur au taux d’ondulation 𝛿2 du à l’effet d’atténuation. Nous pouvons donner le tableau résumant les paramètres de spécification d’un filtre numérique (la sélectivité, l’ondulation, l’atténuation, la fréquence centrale 𝑓0 et la Largeur de bande B). La sélectivité (s) d’un filtre permet d’éliminer ou d’atténuer les fréquences indésirables par rapport à la fréquence de coupure et de déterminer les caractéristiques en fréquences du filtre. Un filtre est d’autant plus sélectif que la bande de fréquences est peut étendue. L’ondulation permet d’abaisser et d’élever la fréquence d’un filtre. L’atténuation a pour rôle de diminuer le gain en fréquence. La fréquence centrale est une valeur caractéristique d’un filtre Passe-bande ou Réjecteur-de-bande. La largeur de bande (B) d’un filtre Passe-bande ou Réjecteur-debande est le rapport de la différence des fréquences passantes limites par celle centrale. 

 Types de filtres numériques

 La classification des filtres numériques peut se faire avec la longueur de la réponse impulsionnelle et le type de la représentation (ou structure). Avec ces types de classification, nous obtenons les filtres récursifs (ou à réponse impulsionnelle infinie (RII)) et les filtres non récursifs (ou à réponse impulsionnelle finie (RIF)). La formule générale des filtres numériques est donnée par : Y(n)=∑ 𝑎𝑘 𝑀 𝑘=0 𝑥(𝑛 − 𝑘) − ∑ 𝑏𝑗𝑦(𝑛 − 𝑗) 𝑁 𝑗=1 (I.1) Avec les valeurs de 𝑏𝑗 nous pouvons dire qu’un filtre est récursif ou non récursif.