Exercices récapitulatifs de probabilités discrètes

Exercices récapitulatifs de probabilités discrètes

Ce document, qui à terme comportera plus de 100 exercices récapitulatifs et une (ou plusieurs) proposition(s) de solution pour chacun d’eux, doit être utilisé comme un outil de contrôle de sa propre démarche dans la résolution des problèmes de probabilité se trouvant en fin de section ou chapitre et également à la fin des notes de cours. Il est de première importance d’essayer de résoudre d’abord les exercices avant de consulter les suggestions de correction. Je tiens à remercier ici tous les assistants du cours depuis que je l’enseigne, et en particulier Eric Toulemonde, Anne-Sophie Brasselle, Christine Marsigny et Ghislaine Bauwens, qui par leur remarques et suggestions ont apporté des améliorations significatives aux énoncés ainsi qu’à certaines propositions de solution. Les générations passées d’étudiants ont inspiré également chaque année des améliorations et leurs réactions ont également permis d’affiner le texte. N.B. Le texte contiendra au fur et à mesure de sa finalisation quelques liens hypertexte de la table des matières vers l’énoncé et le corrigé de l’exercice considéré.Une usine fabrique des pièces en grande série, en deux phases indépendantes. La première phase est susceptible de faire apparaître un défaut X et la seconde un défaut Y. Une pièce peut présenter le défaut X dans 2% des cas et le défaut Y dans 8% des cas.

Quelle est la probabilité qu’une même pièce tirée au hasard : a) présente les deux défauts ? P(A) ? b) présente au moins l’un des deux défauts ? P(B) ? c) présente un et un seul des deux défauts ? P(C) ? d) ne présente aucun des deux défauts ? P(D) ? N.B. Il est utile de représenter graphiquement (via des diagrammes de Venn) les événements dont on cherche la probabilité ; de montrer que si un événement X et un événement Y sont indépendants, leurs complémentaires le sont également ainsi que de développer les solutions de façon alternative via un diagramme en arbre.Une machine industrielle comprend trois organes de fonctionnement. Si l’un d’entre eux présente une défaillance, la machine tombe en panne. Les défaillances possibles de ces organes sont indépendantes et les probabilités de défaillance sont respectivement 0,02, 0,05 et 0,10.Une machine automatique comprend trois organes notés O1, O2 et O3. Les organes O1 et O2 sont interchangeables : si l’un d’eux est défectueux, l’autre prend le relais ; par contre, l’organe O3 est indépendant de O1 et O2. La machine tombe en panne si O1 et O2 ou O3 sont défectueux. On désigne par A, B, C respectivement les événements suivants « O1, O2, O3 est défectueux. ». Calculer la probabilité que la machine tombe en panne, P(D), en fonction des probabilités d’événements qui soient des réunions des événements élémentaires A, B et C.

Un système de chauffage central au fioul comporte une pompe et un brûleur montés en série. Ces deux éléments peuvent tomber en panne durant l’hiver. Tout le système s’arrête si l’un des deux éléments est en panne. a. Supposons que le système ait été activé pendant un hiver et qu’un résultat (x,y) soit enregistré : x = 0 si la pompe fonctionne durant tout l’hiver sans défaillance, autrement x = 1 ; de même y = 0 si le brûleur fonctionne correctement, autrement y = 1.Dans une population de jeunes, il y a 40% de fumeurs et 30% atteints par une maladie respiratoire. Parmi les fumeurs 60% sont atteints par la maladie. Quelle est la probabilité pour que quelqu’un atteint par la maladie soit également fumeur ? (N.B. Modélisez la résolution du problème d’au moins deux façons différentes).Un circuit particulier dans un système de sécurité d’un avion ne fonctionne que si les composants C1 et C2 ne tombent pas en panne. Il suffit qu’un seul soit en panne pour que le circuit ne fonctionne pas C1 tombe en panne avec une probabilité 1 (0<1<1) et C2 avec une probabilité 2 (0<2 <1).L’entreprise de Mr Dupont organise un goûter pour ceux des employés ayant au moins un fils. Chacun de ces employés est invité à se présenter avec son aîné. On sait que Dupont a deux enfants et il est invité au goûter. Quelle est la probabilité que ses enfants soient tous deux des garçons ? [On suppose que l’ensemble élémentaire est S = {(g,g), (g,f), (f,g), (f,f)} et que tous ces événements sont équiprobables, (f,g) signifie que l’enfant premier-né est une fille, l’enfant cadet, un garçon, etc.]Monica hésite entre suivre un cours d’anglais et en suivre un en chimie. Comme elle préfère la chimie, elle estime à 1/2 la probabilité d’obtenir une distinction en anglais contre 2/3 dans le cas de la chimie. Totalement indécise, elle joue sa décision sur le résultat du lancer d’une pièce équilibrée.

 

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