Extensions et calculs numériques

 Synchronisation locale Rappelons que la synchronisation a été définie en demandant que toutes les composantes de l’état évolutif deviennent proches l’une de l’autre avec une précision donnée ac. Nous avons nommé ce phénomène synchronisation globale. Mais, pour discuter un différent type de synchronisation nous pourrions demander que chaque composante se synchronise uniquement avec les proches voisins. Ceci est fait en introduisant l’observable : Θ(¯x) := − log n max |xi − xj | , i 6= j, j = i ± 1 o (4.1) Nous pourrions généraliser à plus d’un voisin j = i ± 2, ±3, mais nous nous limitons ici au cas ±1. Remarquons que ce n’est pas évident d’avoir une description géométrique de l’orbite d’un point qui visité pour la première fois le voisinage de la diagonale (et donc de donner des résultats analytiques en termes d’IE), bien que l’interprétation physique soit la même. C’est-à-dire, nous Extensions et calculs numériques 

 Simulations

Dans cette partie, nous allons analyser les résultats de la simulation numérique. L’expérience réalisée est la suivante : nous considérons l’application unidimensionnelle T dans (2.3) comme T(x) = 3x mod1. Une fois que nous avons construit le CML Tˆ, nous allons le perturber avec un bruit additif : Tˆ ω(¯x)i = Tˆ(¯x)i + εωi mod1 où ε est l’intensité du bruit et ω = (ω1, . . . , ωn) une variable aléatoire triée d’une distribution uniforme entre −0.5 et +0.5. La mesure stationnaire d’une telle application sera L 1 proche de celle pour γ = 0 qui est le produit direct des mesures de Lebesgue uniformes sur le cercle unité pour chaque composante. De plus, ils sont indépendantes de la valeur ε. Notez que nous considérons maintenant une application unidimensionnelle sur le cercle. Ceci n’est pas une restriction des nos considérations précédentes, de plus elle nous permet de définir correctement le bruit additif. Numériquement, pour n dans l’intervalle d’entier ]3, 53[, nous produisons des trajectoires de 104 itérations pour γ < 2/3 et 0.02 incréments. Nous considérons deux observables ψ et Θ qui sont donnés respectivement par (3.8) et (4.1) correspondants aux cas de la synchronisation globale, respectivement locale (dans ce qui suit, nous les appellerons les cas globaux et locaux). Aussi dans cette partie nous analysons le rôle du petit bruit ε = 10−4 et du bruit modéré ε = 10−2 .