Formulation du problème de l’évolution élasto- plastique vérifiant par construction le critère à chaque instant

Dans le premier paragraphe, nous allons proposer une nouvelle écriture de la transformation élastique dans la zone en cours d’évolution plastique. Cette écriture fait intervenir un champ d’angle  et le champ de la déformation plastique cumulée pcum . Remarque : La notation de l’angle dans les chapitres 4, 5 et 6 n’est pas l’angle d’attaque que nous avons utilisé dans le chapitre 2.  Dans le deuxième paragraphe, nous allons établir les équations d’évolution de ces 2 champs si l’évolution de la transformation est connue  Dans le troisième paragraphe, nous allons illustrer cette démarche sur un essai non trivial dit essai de compression plane ou Chanel Die. C’est l’essai à déformation uniforme qui se rapproche le plus du processus de laminage.les quatrième et cinquième termes sont approximativement antisymétriques au premier ordre. Seuls les troisième et sixième termes vont donc participer à l’expression de La compression plane Channel Die ressemble beaucoup au processus de laminage. Pour les deux processus, on compresse le matériau dans une direction et on le laisse s’écouler dans une autre direction. Donc, dans ce paragraphe, nous étudions le test Channel Die dans une évolution élastoplastique (avec écrouissage) avec la nouvelle écriture du champ de transformation. Généralement le modèle de comportement adopté pour étudier ce problème est un modèle rigide plastique. Or le point le plus intéressant dans cet exercice est l’élargissement de l’éprouvette après relâchement de la contrainte. C’est en effet une manière simplifiée d’étudier la variation de largeur d’une bande en sortie de la cage de laminage. Pour cette étude, il est nécessaire de tenir compte de l’élasticité dans le modèle élastoplastique. C’est ce que nous allons faire ici pour améliorer les approches habituelles.

effectuée suivant e3 sur une plaque rigide (en noir) au-dessus de l’échantillon. La direction suivant e1 est libre et la direction suivant e2 est fixée par deux cloisons rigides. Les contacts entre l’échantillon et les cloisons, sont des contacts sans frottement. Donc, dans ce cas, nous pouvons exprimer le champ de transformation sous la forme :  (Figure 4-4) est « linéaire » dans la phase élastique et « parabolique » dans la phase plastique, elle a tendance à se stabiliser vers la valeur 700 MPa.Cette grandeur est la plus intéressante pour la simulation extrêmement simplifiée d’un processus de laminage à l’aide de cet essai uniforme car elle donne l’élongation dans la direction 2 de l’éprouvette une fois que les contraintes ont été relaxées. Cela correspond à la partie retour élastique faisant varier la largeur de la bande dans le processus de laminage. L’exercice ci-dessus permet donc une détermination quasi analytique de cette approximation.

Afin de vérifier les résultats numériques déterminés avec Matlab dans la partie précédente, on utilise Abaqus pour modéliser le test de Channel Die et dessiner les courbes de contrainte en fonction de  Avec Abaqus, on utilise un échantillon qui a une hauteur de 50 unités et une largeur de 10 unités (l’unité est bien sûr quelconque) dans le cas de déformation plane. Deux plaques rigides sont appliquées sans frottement aux deux extrémités de l’échantillon. Enfin, on fixe la plaque en bas, et on applique un champ de vitesse v=0.01 unité/s sur la plaque en haut (voir la Figure 4-8) Dans ce chapitre, nous avons formulé une autre approche du problème de l’étude de l’évolution élastoplastique d’une structure à l’aide de champs auxiliaires qui permettent de reconstruire des champs physiques dont les contraintes vérifient par construction le critère de plasticité. L’application de cette approche à l’essai de compression plane qui est proche d’un processus de laminage peut nous encourager à chercher des fonctions approchées pour un processus de laminage. Cependant en conclusion du chapitre précédent, nous avons ressenti le besoin de tenter d’écrire un principe de minimum qui permet une détermination plus commode de solutions approchées. C’est ce que nous allons entreprendre au chapitre suivant.