Intégrabilité exponentielle

Nous allons présenter dans ce chapitre deux résultats qui sont liés au théorème maximal vectoriel (théorème 2.27) que l’on a prouvé précédemment.Le premier concerne un résultat d’intégrabilité locale qui permet de compléter les inégalités de Fefferman-Stein dans le cas où p = +∞. Plus précisément, nous montrerons sousest exponentiellement intégrable sur tout compact. Ce résultat, qui est intimement lié au comportement des constantes du théorème 2.27 lorsque p est grand, peut être une première motivation pour introduire des espaces d’Orlicz dans le cadre de l’analyse de Dunkl.Le second résultat quant à lui consistera à établir des inégalités de Fefferman-Stein pour des hypergroupes unidimensionnels de Bessel-Kingman. Après avoir défini de manière succincte la notion d’hypergroupe, on introduira la classe particulière des hypergroupes de Bessel-Kingman (en présentant la classe plus large à laquelle ils appartiennent, à savoir celle de Chébli-Trimèche). On définira dans ce contexte un opérateur maximal non centré et on montrera comment la preuve que l’on a donnée du théorème 2.27 peut être adaptée sans difficulté dans ce cadre.On commence par écrire le principal résultat de la section, à savoir un résultat d’inté- grabilité exponentielle locale qui complète l’énoncé du théorème maximal vectoriel pourest exponentiellement intégrable sur tout compact. Plus précisément, il existe une constante ne dépendant que de d, κ et r, que l’on note démontrer ce théorème, nous allons avoir besoin de trois lemmes. Le premier concerne une égalité fonctionnelle valable sur un espace mesurable quelconque.

 Intégrabilité exponentielle 

Le dernier lemme dont nous allons avoir besoin fournit une estimation qui s’avérera décisive dans la preuve du théorème Le résultat attendu est donc une simple conséquence des inégalités (3.2) et (3.3). Nous sommes maintenant en mesure de donner la preuve du théorème Nous en venons maintenant à la deuxième partie de ce chapitre dans laquelle nous allons énoncer des inégalités de ferman-Stein dans le cadre des hypergroupes de Bessel- Kingman. Si cette partie est complètement indépendante de la précédente, il n’en reste pas moins que c’est, tout comme la condition d’intégrabilité exponentielle, un résultat. De plus, il faut souligner que l’analyse de unidimensionnelle et l’analyse sur les hypergroupes unidimensionnels de Bessel-Kingman sont intimement liées, et que ce lien a été principalement mis en évidence par le travail de Rösler sur les hypergroupes signés de type Bessel sur R ([39]).Nous présentons dans cette section un théorème maximal vectoriel dans le cadre des hypergroupes de Bessel-Kingman. À cet effet, nous verrons que la preuve donnée dans le cadre de l’analyse de Dunkl est parfaitement adaptable dans le contexte que nous allons considérer.

Schématiquement, un hypergroupe est un espace topologique X non vide, séparé, lo- calement compact et dont l’espace des mesures sur X qui sont bornées est muni d’une structure convolutive vérifiant certaines propriétés. Cette notion d’hypergroupe, apparue dans le courant des années 30, a été considérablement développée à partir des années 70, lorsque les travaux de Dunkl ([15]), Jewett ([30]) et Spector ([46]) ont permis d’établir une définition axiomatique rigoureuse en vue de faire de l’analyse harmonique associée à ces objets.La section est organisée de la manière suivante. Nous commencerons par donner pourla commodité du lecteur la définition générale d’un hypergroupe, puis nous nous foca- liserons immédiatement sur une classe particulière d’hypergroupes unidimensionnels, la classe de Chébli-Trimèche. Après une description rapide de cette classe d’hypergroupes, nous introduirons un opérateur maximal vectoriel non centré dans le cas particulier des hypergroupes de Bessel-Kingman. Nous énoncerons alors des inégalités de Fefferman-Stein pour cet opérateur et donnerons une preuve succincte de ces inégalités en nous appuyantsur le cadre de l’analyse de Dunkl.Pour une étude approfondie de la théorie générale des hypergroupes, nous renvoyons au livre de Bloom et Heyer ([7]).Pour une étude détaillée de cette topologie, nous renvoyons à l’article de Michael ([35]). Nous sommes maintenant en mesure de donner la définition d’un hyper groupe. Pour présenter cette classe d’hypergroupes (qui est en fait un cas particulier de la classe plus large à laquelle ils appartiennent, à savoir celle de Sturm-Liouville), on a besoin au préalable de définir la notion de fonction de Chébli-Trimèche et d’introduire un opérateur différentiel du second ordre associé à ce type de fonction.Pour construire une structure d’hypergroupe de Chébli-Trimèche, il suffit donc de définir une convolution par identification avec la mesure qui apparaît dans la formule produit des fonctions solutions du système différentiel précédent. Illustrons ces propos en reprenant les deux exemples cités plus haut.