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LES ÉQUATIONS DE MAXWELL EN COORDONNÉES CURVILIGNES
INTRODUCTION
En électromagnétisme, l’écriture des conditions aux limites reste l’une des étapes les plus importantes et aucun problème ne peut y échapper. Le choix du système de coordonnées adéquat dépend essentiellement des surfaces limitant les domaines dans lesquels les équations de Maxwell doivent être résolues. Dans le cas où ces limites ont des formes géométriques simples, l’utilisation des systèmes de coordonnées classiques (cartésien, cylindrique ou sphérique) permet de franchir cette étape sans trop de difficultés. Mais, en présence de surfaces limites complexes, l’écriture de la continuité de certaines composantes de champ devient analytiquement impossible avec de tels systèmes, ce qui nécessite l’utilisation de méthodes numériques.
Afin de contourner cette difficulté, plusieurs méthodes ont été proposées. Parmi celles-ci, et pour des raisons de simplicité, nous employons, depuis quelques années, au laboratoire d’électromagnétisme la méthode qui consiste à utiliser les équations de Maxwell sous forme covariante et un système de coordonnées non orthogonales adapté à la géométrie du problème.
Dans cette première partie nous présentons, brièvement, le formalisme utilisé en mettant en évidence les équations permettant de résoudre le problème de diffraction et de propagation. Pour plus de détail le lecteur peut se reporter aux références [2, 14, 30].
FORME CLASSIQUE DES ÉQUATIONS DE MAXWELL
La résolution d’un problème d’électromagnétisme revient à trouver les solutions des équations de Maxwell écrites au moyen de cinq champs vectoriels et un champ scalaire :
JGGChamp électrique (volts/m)
E( r ,t ) JG G Induction (ou densité du flux) magnétique (Weber/m2 )
B ( r ,t ) JJG G Champ (ou excitation) magnétique (Ampère/m)
H(r ,t ) JJG G Excitation (ou déplacement) électrique (Coulombs/m2 )
D(r ,t ) JG G densité de courant électrique (Ampère/m2 )
J (r ,t ) Gdensité de charge électrique(Ampère/m3 )
• Les relations du milieu
Pour résoudre les équations de Maxwell (I.1), il faut faire des hypothèses sur les propriétés électromagnétiques du milieu dans lequel existent les champs. Ces hypothèses se traduisent sous forme des relations du milieu qui, dans le cas le plus simple d’un milieu homogène, isotrope, diélectrique et magnétique parfait, s’écrivent :
JJG G G JG G (I.3a)
D (r ,t ) = ε(r ,t )E (r ,t ),
JG G G JJG G (I.3b)
B (r ,t ) = µ(r ,t )H (r ,t ).
et pour un milieu conducteur, il faut ajouter la relation suivante :
JG G G JG G (I.3c)
J (r ,t ) = σ(r ,t )E (r ,t ),
Les grandeurs ε, µ et σ sont de simples scalaires, ε désigne la permittivité, µ la perméabilité et σ la conductivité. Dans le cas le plus général, ces équations sont tensorielles et dépendent des coordonnées d’espace et de temps.
LES ÉQUATIONS DE MAXWELL SOUS FORME TENSORIELLE COVARIANTE
Minkowsky a généralisé les équations de Maxwell classiques à l’espace-temps en associant aux champs, des tenseurs électromagnétiques selon le processus suivant :
JG G
E ( r ,t ) → F = −F
JG G
λννλ
B (r ,t )
JJG G
D ( r ,t ) → G λν = −G νλ
JJG G
H ( r ,t )
JG G
J ( r ,t ) → C λ
G
ρ (r ,t )
Avec : λ , ν ∈ {0,1, 2,3} .
(I.4a)
(I.4b)
(I.4c)
Fλν est un tenseur antisymétrique deux fois covariant, G λν un pseudo tenseur antisymétrique de poids +1 deux fois contravariant, C λ est un pseudo vecteur contravariant de poids +1 (cf. ANNEXE A).
Les équations de Maxwell-Minkowsky (I.5) sont invariantes, c’est à dire conservent leur forme analytique pour tous les systèmes de coordonnées à quatre dimensions, si l’on fait les deux hypothèses suivantes :
1. Tous les systèmes de coordonnées peuvent être obtenus de manières holonome à partir d’un système dans lequel les équations sont supposées valables.
2. Les composantes de Fλν , G λν et C λ se transforment dans un changement de coordonnées selon les lois tensorielles.
LES ÉQUATIONS DE MAXWELL SOUS FORME COVARIANTE TRIDIMENSIONNELLE
La forme quadridimensionnelle précédente étant utilisée en relativité, on est amené, dans les cas non relativistes, de passer à l’espace tridimensionnel. Puisque tout tenseur antisymétrique d’ordre deux de l’espace à quatre dimensions possède le même nombre de composantes non nulles que deux vecteurs de l’espace à trois dimensions (six composantes), nous associons des vecteurs tridimensionnels aux tenseurs électromagnétiques .
DÉFINITION D’UN NOUVEAU SYSTÈME DE COORDONNÉES
Pour pouvoir résoudre les équations, vectorielles ou tensorielles, de la physique des milieux continus et en particulier les équations de l’électromagnétisme, il faut préalablement se donner un système de coordonnées afin de pouvoir projeter ces équations. Le choix de ce système est conditionné par la géométrie du problème à étudier. Les systèmes les plus fréquemment utilisés sont les systèmes orthogonaux (cartésien, cylindrique, sphérique, etc. …) parce qu’ils sont associés à des problèmes présentant un aspect géométrique simple. Dans les cas plus compliqués, certains articles de calcul permettent de conserver ces systèmes mais l’utilisation de systèmes non orthogonaux paraît inévitable pour traiter les problèmes les plus généraux.
Dans le cadre de la physique non relativiste, l’espace considéré est l’espace euclidien à trois dimensions pour lequel il est toujours possible d’employer un système cartésien, à partir duquel peuvent être définis tous les systèmes curvilignes. Mais il est également possible, et pratiquement plus rapide, de prendre pour référence un système orthogonal classique mettant primitivement en évidence les symétries du système cherché.
Système de coordonnées de translation
Dans notre cas, un système de coordonnées non orthogonales est le mieux adapté pour résoudre le problème de la diffraction. Il s’obtient à partir du système cartésien (x, y, z) par la transformation de type additif suivante : x ‘ = x ; u = y − a (x , y ); z ‘ = z . Où a(x,z) est une fonction au moins deux fois dérivable. Elle définit la rugosité de la surface diffractante dans le cas de l’étude du problème de la diffraction d’une onde électromagnétique.
Table des matières
INTRODUCTION
PREMIÈRE PARTIE : PRÉSENTATION DU FORMALISME
CHAPITRE I: LES ÉQUATIONS DE MAXWELL EN COORDONNÉES CURVILIGNES
I.1. Introduction
I.2 Forme classique des équations de Maxwell
I.3. Les équations de Maxwell sous forme tensorielle covariante
I.4. Les équations de Maxwell sous forme covariante tridimensionnelle
I.5. Les équations de propagations
I.6. Théorème de Poynting en coordonnées curvilignes
I.7. Définition d’un nouveau système de coordonnées
DEUXIÈME PARTIE : MÉTHODE DE PERTURBATIONS
CHAPITRE II: LA DIFFRACTION D’UNE ONDE ÉLECTROMAGNETIQUE PAR UNE SURFACE MÉTALLIQUE RUGUEUSE DE CONDUCTIVITÉ FINIE
II.1. Introduction
II.2. Formulation du problème
II.3. Méthode de perturbations
II.4. Résolution
II.5. Bilan énergétique
II.6. Résolution au premier ordre de perturbations
II.7. Applications Numériques
II.8. Conclusion
CHAPITRE III: ÉTUDE DES PERTES PAR RAYONNEMENT DANS UN GUIDE DÉFORMÉ APÉRIODIQUEMENT
III.1. Introduction
III.2. Position du problème
III.3. Résolution
III.4. Résultats numériques
TROISIÈME PARTIE : MÉTHODE RIGOUREUSE
CHAPITRE IV: ÉTUDE DE LA DIFFRACTION PAR UNE MÉTHODE RIGOUREUSE
IV.1. Position du problème
IV.2. Mise en équation du problème
IV.3. Résolution
IV.4. Calcul des densités d’énergie
IV.5. Applications numériques
IV.6. Conclusion
QUATRIÈME PARTIE : ÉTUDE DU PROBLÈME INVERSE DE LA DIFFRACTION
CHAPITRE V: PROBLÈME INVERSE ET RÉSULTATS NUMÉRIQUES
V.1. Introduction
V.2. Principe de la méthode employée
V.3. Mise en équations du problème
V.4. Applications
CONCLUSION
ANNEXES
A. Rappel sur les tenseurs
B. Caractérisation de la surface
BIBLIOGRAPHIE
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