L’analyse a priori du scénario

Dans ce chapitre, nous expliquons plus en détails l’ordre dans lequel les contenus mathématiques émergent dans la séquence ainsi que la gestion prévue en classe. Nous précisons également quelles sont les activités attendues des élèves pour les différentes tâches proposées dans notre séquence. Nous ajoutons au fur et à mesure de notre des- cription du scénario les aspects qui différencient notre séquence à la fois des scénarios potentiels étudiés dans les manuels scolaires (chapitre VII) et des scénarios étudiés dans notre étude de terrain (chapitre VIII).Notre scénario se découpe en deux phases : l’activité d’introduction dans laquelle toutes les notions théoriques sur les équations des droites et des plans dans l’espace émergent et les exercices. Pour chacune de ces phases d’enseignement, nous proposons une description plus détaillée de notre scénario. Celle-ci suivra la chronologie indiquée dans le chapitre X. Il s’agit de préciser comment nous avons intégré les choix effec- tués au sein du scénario et pourquoi celui-ci développe la conceptualisation visée (cf. chapitre IX).

Étant donné que notre questionnement s’insère dans le cadre de la Théorie de l’Ac- tivité, dont nous avons présenté les fondements au chapitre VI, nous analysons chaque tâche proposée en termes d’activités attendues des élèves afin de caractériser les appren- tissages visés pour le chapitre de géométrie analytique dans l’espace.Nous nous limitons dans ce chapitre aux tâches sélectionnées dans notre scénario. Nous ne présentons donc pas l’analyse a priori de toutes les tâches se trouvant dans notre séquence d’enseignement. De plus, nous pouvons regrouper certaines tâches en- visagées en fonction des activités qu’elles peuvent potentiellement engendrer chez les élèves. De ce fait, nous choisissons de ne pas présenter toutes les analyses au sein de ce chapitre. Le lecteur désireux d’en voir davantage peut se rendre à l’annexe F. Les solu- tions possibles pour les tâches de l’activité d’introduction et des exercices sélectionnés sont données dans l’annexe G.

L’activité d’introduction

La première partie de notre séquence consiste à faire émerger presque toutes les notions théoriques préconisées par le programme scolaire à partir de l’activité d’intro- duction. Comme nous l’avons expliqué dans le chapitre IX, notre objectif est de favo- riser chez les élèves l’intégration des nouvelles connaissances à celles qu’ils ont déjà. C’est pourquoi cette activité d’introduction met en jeu des connaissances de géométries synthétique, vectorielle et analytique plane. De ce fait, certaines extensions des notions du plan à l’espace peuvent apparaître. Nous voulons fournir aux élèves un moyen de contrôle pour éviter que ces extensions n’amènent des conceptions erronées. Le levier choisi est l’interprétation géométrique des objets. Or, celle-ci ne semble pas actuelle- ment développée dans l’enseignement secondaire. C’est pourquoi nous proposons de l’introduire à partir d’objets déjà étudiés par les élèves. L’objectif de la première tâche introductive est donc d’amener un travail sur les deux aspects (la reconnaissance et la description) de l’interprétation géométrique des droites dans le plan. Nous pouvons en- suite nous appuyer sur ce travail pour faire émerger les notions de droites et de plans dans l’espace.

Il est prévu que les élèves prennent connaissance de cette première tâche introduc- tive en toute autonomie. Puisque notre étude des programmes (cf. chapitre IV) a mis en évidence que la résolution graphique n’est que peu exploitée dans l’enseignement se- condaire, une discussion collective s’engage avec l’enseignant sur ce qu’est ou non une équation, ce que signifie résoudre algébriquement et graphiquement un système d’équa- tions et ce que signifie décrire un objet géométrique par une équation. Nous faisons le pari que cette étape est cruciale pour amener les élèves à bien distinguer « résoudre une équation » et « décrire par une équation ». Ces étapes sont généralement absentes des manuels scolaires et des cours étudiés. L’interprétation géométrique des objets dans le plan est alors introduite pour résoudre ces tâches.

Les activités attendues de la part des élèves sur cette première tâche introductive consistent à effectuer plusieurs conversions entre les registres algébrique, ensembliste et graphique afin de développer les deux aspects de l’interprétation géométrique dans le plan. Il est important de se rendre compte que les élèves ne sont pas habitués à devoir reconnaître les objets à partir des équations et à décrire les objets par des ensembles de points. Il ne s’agit donc plus pour les élèves de résoudre algébriquement des systèmes mais bien de mettre en place un questionnement sur les objets décrits ou à décrire. La nature du travail attendu des élèves est très différente de ce qu’ils ont déjà dû effectuer en géométrie analytique. Nous faisons l’hypothèse que ce questionnement peut être plus facilement mis en place chez les élèves grâce au discours de l’enseignant lors des correc- tions collectives. En particulier, de nombreuses occasions de proximités principalement horizontales avec les connaissances que les élèves ont déjà peuvent être tentées par l’en- seignant en classe. En effet, des rapprochements entre ce que les élèves connaissent des droites dans le plan et le travail proposé ici peuvent, selon nous, favoriser l’intégration de l’interprétation géométrique des objets dans l’arsenal dont ils disposent.