Le chapeau de Napoléon

Exercice 1

On considère les fonctions numériques d’une variable réelle définies par :
1. Montrer que, pour tout x  0, les nombres f ’(x) et g(x) ont le même signe.
2. Etudier les variations de la fonction g sur .
En déduire que l’équation g(x) = 0 admet dans  une solution unique , avec 0 <  < 1.
(On ne cherchera pas à calculer .)
3. Dresser le tableau des variations de la fonction f.
On désigne par (C) la représentation graphique de la fonction f dans un repère orthonormé
(unité : 3 cm), par I le point de (C) d’abscisse (-1) et par J le point de (C) d’abscisse (+1).
4. a. Vérifier que la droite (IJ) est la tangente en J à (C).
b. Déterminer une équation de la tangente (T) en I à (C).
5. Etudier la position de (C) par rapport à (T).
6. Utiliser les résultats précédents pour construire la courbe (C).
(On prendra comme valeur approchée de .)