Les notions de base des processus de laminage

Hypothèses retenues pour les simulations de laminage 

De nombreuses questions relatives au laminage sont clairement des questions qui font appel à une modélisation thermomécanique tridimensionnelle. C’est notamment le cas si l’on s’intéresse à la variation de largeur des bandes ou aux contraintes résiduelles présentes dans la bande, après le passage dans les cages des laminoirs. Cependant si l’on veut avoir une première idée simple des mécanismes de déformation en jeu dans la partie centrale des bandes, il est possible de faire l’hypothèse que l’évolution est en déformations planes, les frottements parallèles à l’axe des cylindres de laminage étant, en général, suffisants pour limiter très fortement les déplacements de la matière suivant cet axe dans une très large partie centrale. Nous nous placerons donc dans les hypothèses de déformations planes pour les modélisations ci-dessous. L’entrée et la sortie d’une bande dans une cage est un processus transitoire, donc fonction du temps, cependant il est généralement admis que le régime permanent s’établi très rapidement, la bande défilant à une vitesse quasiment constante et les lignes de courant de la matière en déplacement se stabilisant très rapidement.Les calculs ci-dessous seront donc menés dans l’hypothèse d’un régime permanent établi. Les aciers ont un comportement élastoplastique avec le plus souvent un écrouissage isotrope et cinématique. Cependant dans les cas les plus courants, la prise en compte de cette loi d’écrouissage dans les calculs ne modifie pas qualitativement les mécanismes de déformations à l’œuvre lors du laminage par rapport à une modélisation élastique parfaitement plastique. Par ailleurs, la comparaison de simulations sans écrouissage est plus facile à développer. Nous retiendrons donc, ci-dessous, un comportement élastique parfaitement plastique de Von Mises pour modéliser les aciers. La loi de frottement entre le cylindre et la bande est complexe pour les laminages réels. Dans les modélisations il est généralement choisi une loi de Tresca, de Coulomb ou de Norton. Dans un objectif de comparaison des mécanismes de déformation en fonction de paramètres adimensionnels, il est plus simple de retenir la loi de frottement de Tresca, car la composante tangentielle de la force surfacique de contact entre le cylindre et la bande peut être donnée en proportion du seuil de Von Mises de l’acier, lorsqu’il y a glissement. Nous modéliserons donc le contact bande-cylindre avec une loi de Tresca. Lors du passage de la bande sous le laminoir les efforts mutuels exercés sont importants et la cage du laminoir se déforme, ainsi que le cylindre. Ce phénomène a plus ou moins d’importance suivant les conditions de laminage. Les calculs couplant les déformations élastoplastiques de la bande et les déformations, généralement élastiques, de la cage et des cylindres sont assez complexes et en tout cas trop lourds pour l’objectif modeste que nous nous sommes donné ici. Nous ferons donc l’hypothèse que les cylindres et les cages sont rigides et ne se déforment pas lors de l’opération de laminage.

Présentation de LAM3

Actuellement les chercheurs d’ArcelorMittal, utilisent fréquemment le logiciel LAM3 pour simuler les opérations de laminage. Ce logiciel a été développé au milieu des années 90 par le CEMEF en commun avec Alcan et Arcelor pour la modélisation du laminage de produits plats (Hacquin A., 1996). En fait, LAM3 est un outil de calculs thermomécaniques par Eléments Finis avec formulation lagrangienne réactualisée ou eulérienne stationnaire. La rhéologie est définie aux points d’intégration. Il est possible de coupler le calcul des déformations dans la bande avec un calcul Thermo-Elastique dans la cage de cylindres. La formulation lagrangienne réactualisée est destinée à simuler les procédés non stationnaires (forgeage, bi-poinçonnement, laminage à pas de pèlerin,…). La formulation eulérienne stationnaire est utilisée pour simuler les régimes permanents, le gain en précision ou temps de calcul est alors très significatif (de 1 à 2 ordres de grandeur).

Paramètres permettant de définir un processus de laminage

 Sous les hypothèses du paragraphe 1.1 les paramètres permettant de définir un cas de laminage sont peu nombreux. Nous les introduisons ci-dessous. A/ Paramètres géométriques. Dans un problème en déformation plane et en régime permanent, le seul paramètre de la géométrie initiale est l’épaisseur. Le problème étant symétrique par rapport au plan médian horizontal, nous noterons e h la demi-épaisseur initiale de la bande (ou demi-épaisseur en entrée). L’objectif de réduction de l’épaisseur de la bande dans l’opération de laminage conduit à définir l’épaisseur de sortie de la bande après passage dans la cage. Nous noterons s h la demi-épaisseur de la bande en sortie. Les cylindres étant rigides, et leur axe ne se déplaçant pas (rigidité de la cage), d’un point de vue géométrique, il suffit de connaitre leur rayon R . Ainsi les paramètres géométriques sont : Demi-épaisseur de la bande en entrée et sortie de l’emprise , e s h h Figure 1-2 : Paramètres de laminage 23 Rayon de cylindre R B/ Paramètres Matériaux. Le comportement du matériau de la bande est supposé élastique parfaitement plastique de Von Mises. L’élasticité étant supposée isotrope, elle fait appel à deux paramètres caractéristiques du comportement, le module d’Young E et le coefficient de poisson . Il faut aussi définir la limite d’élasticité  0 de ce matériau. Enfin le frottement retenu est de type Tresca avec une limite de frottement 0    k 3 où k est un paramètre adimensionnel de frottement. Ainsi les paramètres matériaux sont : Module d’Young et coefficient de Poisson du matériau de la bande Limite d’élasticité du matériau de la bande  0 (Von Mises sans écrouissage) Paramètre adimensionnel de frottement k (l’effort surfacique de frottement est 0    k 3 lorsqu’il y a glissement) C/ Paramètres de chargement. Le chargement est donné d’une part par la vitesse de rotation  des cylindres. (La vitesse des particules sur la frontière des cylindres est V R c   ) D’autre part, en général on exerce une contrainte de traction  e sur la bande du côté de l’entrée et une contrainte de traction  s sur la bande du côté de la sortie. Ainsi les paramètres de chargement sont : Vitesse du cylindre V R c   Contraintes à l’entrée et à la sortie ,  e s Il y a ainsi une dizaine de paramètres pour définir les cas de laminage sous les hypothèses du paragraphe 1.1. Parmi ces paramètres, nous n’évoquerons plus le module d’Young et le coefficient de Poisson qui n’ont pas de raisons de varier beaucoup d’un cas à l’autre et qui, de toute façon, jouent un rôle secondaire. Nous retiendrons pour les calculs E  210000 MPa ,   0.3 . Les 8 autres paramètres sont dimensionnés. Il est possible de dégager les principaux paramètres adimensionnels associés à ces 8 paramètres. A’/ Paramètres adimensionnels géométriques. Les trois paramètres géométriques dont la dimension est une longueur conduisent à deux paramètres adimensionnels. 24 Le premier que nous nommerons la réduction verticale s e h h   s’impose. Pour avoir un second paramètre pertinent il est nécessaire de développer un peu les aspects géométriques du contact. Pour cela nous commençons par définir L la longueur de contact comme la longueur de la projection sur l’axe horizontal de la zone de contact entre la bande et le cylindre. La détermination de L est un petit travail géométrique élémentaire utilisant la rigidité de la cage, des cylindres et le théorème de Pythagore. Du point de vue le plus sommaire, l’opération de laminage peut être vu comme l’écrasement d’une bande de largeur L et de hauteur initiale 2 e h . Un deuxième paramètre géométrique adimensionnel important s h e L  semble alors apparaitre. Nous l’appellerons par abus de langage l’élancement s h e L  B’/ Paramètres adimensionnels matériaux. Nous avons déjà introduit le paramètre adimensionnel de frottement k Si nous acceptons l’idée que l’on peut négliger les phénomènes liés à l’élasticité dans l’étude de l’influence des paramètres de laminage, il n’y aura pas d’autres paramètres adimensionnels matériaux. En particulier la limite d’élasticité  0 n’interviendra pas dans cette analyse. Bien sûr  0 sera alors à peu de choses près (élasticité négligée) en facteur des différentes sorties en efforts ou en contraintes des simulations. C’/ Paramètres adimensionnels de chargement. La vitesse de rotation  des cylindres est le seul paramètre faisant intervenir de manière explicite le temps. Il n’y a donc pas de paramètre adimensionnel qui lui soit associé. Pour les autres paramètres de chargement, nous retiendrons le paramètre adimensionnel de traction en entrée 0 e e t    et le paramètre adimensionnel de traction en sortie 0 s s t    On voit que, dans la limite où l’élasticité peut être négligée et sous les hypothèses du paragraphe 1.1, nous avons à travailler avec une famille de 5 paramètres adimensionnels. C’est encore beaucoup et il semble nécessaire de mener un raisonnement qualitatif pour identifier les plus importants d’entre eux. L’abondante littérature scientifique sur le sujet et la longue expérience des industriels guide heureusement pour le choix des paramètres principaux (Montmitonnet P., 2002).  

Les sorties utiles d’un calcul avec LAM3 

LAM3 permet d’obtenir une quantité considérable d’informations sur les opérations de laminage simulées. Nous allons ici lister les principales d’entre elles et la manière dont nous allons les utiliser. Nous verrons successivement des informations globales comme la force et le couple de laminage, la puissance de laminage et le glissement. Ensuite nous verrons les informations sur les vitesses, les contraintes, les déformations et la variation du volume. A/ Les sorties globales Avec LAM3, on peut avoir des sorties globales comme la force et le couple de laminage, la puissance de laminage et le glissement. 26 o La force de laminage, exprimée en N/m est la force verticale exercée par les cylindres sur une largeur de 1m de la bande. Cette force n’apporte pas de puissance mécanique à la bande o Le couple de laminage, exprimé en N.m/m est le couple exercé sur chacun des cylindres par mètre de largeur de la bande pour créer la rotation de celui-ci à la vitesse angulaire . La puissance apportée par chaque cylindre à une unité de la largeur de la bande est o La puissance de laminage est la somme de la puissance dissipée par la déformation de la bande et la puissance dissipée par frottement entre la bande et les cylindre. Elle est égale à la somme de la puissance fournie par chacun des cylindres et des puissances fournies par les tractions en entrée et en sortie de la bande. Nous conviendrons de noter , la moitié de cette puissance par unité de largueur de la bande : = Où : est la vitesse d’entrée de la bande est la vitesse de sortie de la bande o Le glissement, exprimé en % est une grandeur qui est associée au glissement entre la bande et le cylindre à la sortie du cylindre : B/ Les sorties en vitesse Nous choisissons un repère orthonormé   , , O e e x y tel que O soit sur l’axe de symétrie du problème sous le point bas du cylindre haut, x e le vecteur unitaire dans la direction de laminage et y e le vecteur unitaire directement orthogonal. LAM3 donne les champs de vitesse en régime permanent.  la première composante du champ de vitesse des particules de la bande dans la direction de laminage. La question principale concerne la non uniformité éventuelle de ce champ dans l’épaisseur dans la zone d’emprise. Pour étudier cela, les calculs LAM3 sont menés avec un maillage comprenant 5 mailles dans l’épaisseur soit, 6 « lignes de nœuds ». Il est facile de déterminer un champ de vitesse de référence sous les hypothèses d’uniformité parfaite de cette composante dans l’épaisseur et de conservation du volume. La présentation des résultats LAM3 qui nous a paru la plus pertinente pour répondre à la question de la non uniformité éventuelle de la composante horizontale dans l’épaisseur est une présentation « normalisée » dans un repère    . Dans cette présentation chaque cas de laminage est représenté par 6 courbes (chacune d’entre elle correspond à une ligne de nœuds). L’écart entre ces courbes permet de juger de la non uniformité de cette composante. L’écart par rapport à une courbe uniforme de valeur 1 permet de juger de l’importance de la variation de volume dans la bande.